小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB>6.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；第1页共4页小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)第2页共4页小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.com参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P作PG⊥EF于点G，H为PE的中点，连接GH，∴∠PGE＝90°，GH＝PH＝HE＝PE＝3.∵PF＝PE，∴∠FPG＝∠EPG，FG＝GE＝EF＝3.在Rt△PGE中，由勾股定理得PG＝＝＝3.∴PG＝GH＝PH，即△GPH为等边三角形，∴∠GPH＝60°，∴∠FPE＝∠FPG＋∠GPE＝2∠GPE＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，∴∠ANP＝∠AMP＝90°.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.∵∠PAM＝30°，AP＝10，∴PM＝AP＝5.由勾股定理得AM＝＝5.在△ANP和△AMP中，∴△ANP≌△AMP，∴AN＝AM＝5.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＋ME－NF＝10.(3)如图②，△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动．P1O＝PO＝PE＝3，AE＝EF＝6，AO＝＝9.∴AP的最大值为AO＋OP＝12，AP的最小值为AO－OP1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′O＝30°，∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求的∠AOG′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG′＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.3．(1)证明：如图①中，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．(2)解：四边形EFGH是菱形．理由如下：如图②中，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝第3页共4页小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等免费下载www.doc985.comAC，FG＝BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．(3)解：四边形EFGH是正方形．理由如下：如图②中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．第4页共4页