小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题9勾股定理中的最值问题突破技巧（解析版）类型一求一条线段的最小值技巧1利用垂线段最短求最值典例1（2022春•路北区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5B．6C．4D．4.8思路引领：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D， AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD¿❑√AC2−DC2=¿4，又 S△ABC¿12BC•AD¿12BP•AC，∴BP¿BC⋅ADAC=6×45=¿4.8．故选：D．总结提升：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式训练1．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．3❑√32B．5❑√32C．3❑√3D．7❑√32思路引领：如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．解：如图，不妨假设点P在AB的左侧， S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3， S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2S❑0，∴S1¿12S0， △ABC是等边三角形，边长为6，∴S0¿❑√34×62＝9❑√3，∴S1¿9❑√32，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T． △PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM， O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴12•AB•RT¿9❑√32，CR＝3❑√3，OR¿❑√3，∴RT¿3❑√32，∴OT＝OR+TR¿5❑√32，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OP≥OT，∴OP的最小值为5❑√32，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为7❑√32，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为5❑√32，当点P在②④⑥区域时，最小值为7❑√32， 5❑√32＜7❑√32，故选：B．总结提升：本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．技巧2转化为其他线段，再根据垂线段最短典例2（2022•苍溪县模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．245B．485C．125D．65思路引领：根据矩形的性质得出CM＝PN，求出CQ¿12CM，要使CQ的值最小，只要CM的值最小即可，根据垂线段最短得出CM⊥AB时，CM最小，再根据三角形的面积公式求出CM即可．解：过C作CM⊥AB于M，CM交PN于W， Q为PN的中点，∴PQ＝NQ， BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴CQ¿12PN， MP⊥BC，MN⊥AC，∴∠CPM＝∠CNP＝90°，∴四边形CPMN是矩形，∴PN＝CM，PW＝NW，CW＝MW， PQ＝MQ，∴Q和W重合，∴CQ¿12CM，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com要使CQ值最小，只要CM最小就可以，当CM⊥AB时，CM最小（垂线段最短）， S△ABC¿12×AC×BC=12×AB×CM，∴6×8＝10×CM，∴CM¿245，∴CQ的最小值是12×245=125，故选：C．总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，垂线段最短和三角形的面积等知识点，能求出CQ¿12CM是解此题的关键．变式训练1．（2022春•思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．思路引领...