小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10勾股定理的综合探究题型（解析版）题型一探究直角三角形的边和高之间的关系典例1（湖州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1h2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；②证明（a+b）2＜（c+h）2；③直角三角形，证明（a+h）2+h2＝（c+h）2；④只需证明h2（1a2+1b2）＝1，从左边推导到右边．解：① Rt△ABC的面积为：12ab或12ch，∴ab＝ch，故①正确；② c2＜c2+h2，a2+b2＝c2，∴a2+b2＜c2+h2， ab＝ch，∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，∴（a+b）2＜（c+h）2，∴a+b＜c+h，故②正确；③ （c+h）2＝c2+2ch+h2，h2+（a+b）2＝h2+a2+2ab+b2， a2+b2＝c2，（勾股定理）ab＝ch（面积公式推导）∴c2+2ch+h2＝h2+a2+2ab+b2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴（c+h）2＝h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④ ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2， a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴a2b2a2+b2=¿h2，∴a2+b2a2b2=1h2，∴a2a2b2+b2a2b2=1h2，∴1a2+1b2=1h2，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab＝ch的应用．题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，得出∠FAE＝45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com正确；可证△ABF≌△ACD，于是BF＝CD，判定②正确；先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD＝BF，又①知DE＝EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠EBF＝90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2＝EF2，等量代换后判定④正确．解：① ∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，{AD=AF∠DAE=∠FAE=45°AE=AE，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；② ∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠FAB＝∠CAD，在△ABF与△ACD中，{AF=AD∠FAB=∠CADAB=AC，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD，②正确；③ ∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAF．在△ACD与△ABF中，{AC=AB∠CAD=∠BAFAD=AF，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD＝BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在△BEF中， BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；由③知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°， ∠ABE＝45°，∴∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2＝EF2， BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，④正确．所以正确的结论有①②③④．故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键．典例3（2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．思路引领：首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．解...