小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题13与中点有关的计算与证明（解析版）类型一构造直角三角形斜边的中线典例1如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE¿❑√2AB．思路引领：取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF＝EF＝BF＝CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC＝45°，然后求出∠AEC+∠BCE＝135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE＝90°，然后求出∠AFB＝90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的❑√22可得AF¿❑√22AB，然后证明即可．证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF， CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF＝EF＝BF＝CF¿12CE，在△CDE中， ∠CDE＝135°，∴∠ACE+∠BEC＝180°135°﹣＝45°，∴∠AEC+∠BCE＝（90°﹣∠ACE）+（90°﹣∠BEC）＝180°45°﹣＝135°，∴∠BFC+∠AFE＝（180°2﹣∠BCE）+（180°2﹣∠AEC）＝360°2﹣（∠AEC+∠BCE）＝360°2×135°﹣＝90°，∴∠AFB＝180°﹣（∠BCF+∠AFE）＝180°90°﹣＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF¿❑√22AB，∴CE＝2AF＝2×❑√22AB¿❑√2AB，即CE¿❑√2AB．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．典例2（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为．思路引领：连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND¿12BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．解：如图，连接MB、MD， ∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴MB¿12AC，MD¿12AC， AC＝26，∴MB＝MD¿12×26＝13， N是BD的中点，BD＝24，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴MN⊥BD，BN＝DN¿12BD¿12×24＝12，∴MN¿❑√MB2−BN2=❑√132−122=¿5，故答案为：5．总结提升：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．思路引领：（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE， ∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE¿12DB，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠DCB＝90°，∴CE¿12BD，∴AE＝CE， F是AC中点，∴EF⊥AC；（2） AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4， EF⊥AC．∴EF¿❑√CE2−CF2=❑√52−42=¿3总结提升：本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类型二捕捉三角形的中位线典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（）A．2B．4C．3D．2.5思路引领：根据勾股定理求出AD，根据直角三角形的性质求出CE，再根据三角形中位线定理解答即可．解： AD为中线，BC＝12，∴CD¿12BC¿12×12＝6，在Rt△ACD中，AD¿❑√AC2+CD2=❑√82+62=¿10， ∠ACB＝90°，E为AD的中点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴CE¿12AD＝5， DF∥CE，D为BC的中点，∴DF¿12CE＝2.5，故选：D...