小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题20四边形中的折叠问题（解析版）类型一平行四边形的折叠问题1．（2021•饶平县校级模拟）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．6❑√2D．2（1+❑√2）思路引领：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG＝∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．解： 四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠EGF， 将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF＝∠DEF＝60°，∴∠AEG＝60°，∴∠EGF＝60°，∴△EGF是等边三角形，∴EG＝FG＝EF＝2，∴△GEF的周长＝2×3＝6，故选：A．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．2．（2022秋•市南区校级期末）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思路引领：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，D′C＝AD＝BC，∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF＝∠ECB，在△D′CF与△ECB中，{∠D'=∠EBCD'C=BC∠D'CF=∠ECB，∴△D′CF≌△ECB（ASA），∴D′F＝EB，CF＝CE， DF＝D′F，∴DF＝EB，AE＝CF，设AE＝x，则EB＝6﹣x，CF＝x， BC＝AD＝4，∠CBG＝60°，∴BG¿12BC＝2，由勾股定理可知：CG＝2❑√3，∴EG＝EB+BG＝6﹣x+2＝8﹣x，在△CEG中，由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2❑√3）2＝x2，解得：x＝AE¿194，故答案为：194．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com总结提升：本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．3．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．思路引领：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA＝OC，又由平行线的性质，可得∠1＝∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE＝CF．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI＝FG．证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2， 在△AOE和△COF中，{∠1=∠2OA=OC∠3=∠4，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2） 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，由（1）得AE＝CF，由折叠的性质可得：AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，又 ∠1＝∠2，∴∠3＝∠4， ∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6， 在△A1IE与△CGF中，{∠A1=∠C∠5=∠6A1E=CF，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．总结提升：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．4．（2020秋•兴庆区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED'是菱形；（2）若点P是直线l上的一个动点，请作出使PD'+PB为最小值的点P，并计算PD'+PB．小学、初中、高...