小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第一次月考难点特训（一）与全等综合有关的压轴题1．已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，点M为直线BC上任意一点，过点C作CD⊥AM交AB于点D，在BC上取一点N使CN＝BM，连接DN（1）如图，M、N在线段BC上，求证：∠AMC＝∠DNB；（2）若M、N分别在CB、BC的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？【解答】（1）证明：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD于O． AM⊥CD，BG⊥BC，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG， AC＝BC，∴△ACM≌△CBG，∴CM＝BG，∠AMC＝∠G， CN＝BM，∴CM＝BN＝BG， BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△DBN≌△DBG，∴∠G＝∠BND，∴∠AMC＝∠DNB；（2）解：（1）中的结论成立．理由：作BG⊥BC，交CD的延长线于G，AM交CD的延长线于O． AM⊥CD，BG⊥BC，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG， AC＝BC，∴△ACM≌△CBG，∴CM＝BG，∠M＝∠G， CN＝BN，∴CN＝BM＝BG， BD＝BD，∠DBN＝∠DBG＝45°，∴△DBN≌△DBG，∴∠G＝∠M，∴∠M＝∠N；2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变． 等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时， ∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时， ∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变． 在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又 ∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°60°﹣＝120°3．如图1，△ACB为等腰直角三角形，即∠ABC＝90°，AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°．点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，即∠PAQ＝90°，AQ＝AP，∠AQP＝∠APQ＝45°，且QE⊥AB于E．（1）求证：△PAB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值；（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明： △ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△PAB和△AQE中，，∴△PAB≌△AQE（AAS）；（2）解： △PAB≌△AQE，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴AE＝PB， AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB， AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，又 BE＝2MB，PC＝2MB，∴＝2；（3）式子的值不会变化．如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H， QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠PAD， △PAQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，，∴△AQH≌△APD（ASA），小学、初中、高中各种试卷真题知识归...