小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com期中难点特训（一）全等三角形与等腰（边）相结合的压轴题1．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．(1)求证：；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；(3)当是等腰三角形时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)直角三角形，见解析(3)、、【分析】（1）根据等边三角形的性质以及角度的计算可得，，，进而即可证明；（2）由是等边三角形，可得，证明，可得，根据即可求解；（3）根据题意分类讨论①，②，③，根据等边对等角，列一元一次方程解方程求解即可．(1)和是等边三角形，，，，，，，在和中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com；(2)是直角三角形．是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，，是直角三角形；(3)，，，，①当时，，，；②当时，，，；③当时，，，．所以，当为、、时，是等腰三角形．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．2．在中，，点是射线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图1，当点在线段上，且时，那么______度．（2）设，．①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的量关系（不需证明）．【答案】（1）90；（2）①．证明见解析；②．【分析】（1）先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；（2）①先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．【详解】解：（1） ∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案为90．.（2）①证明： ∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B， ∠B+∠ACB=180°-α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，∴α+β=180°；②图形如下， ∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．故答案为α=β．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．3．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？【答案】(1)见解析；(2)∠QMC的大小不发生变化，∠QMC=60°；(3)秒或秒【分析】（1）利用等边三角形的性质根据SAS证明；（2）利用全等三角形的性质证明即可；（3）设点P，Q运动t秒时，分两种情况：①当∠PQB=90°时，由BP=2BQ，即4-t=2t，解得t；②当∠QPB=90°时，由BQ=2BP，即2(4-t)=t，解得t．(1)证明： △ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，在△ABQ和△CAP中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△ABQ≌△CAP（SAS）；(2)解：∠QMC的大小不发生变化，理由如下： △ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP， ∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°，∴∠AMP=180°-(∠BAQ+∠APC)=180°-(∠ACP+∠APC...