小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题13一线三等角模型证全等1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°， AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2） AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又 ∠1+2∠＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽△BDF；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌△CFD；③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为3．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com），则点C的坐标为（﹣，1）．【模型变式】（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．【解答】解：（1）①如图1， △ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°， 点D是AB的中点，∴AD＝BD， ∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB，∴∠AED＝∠EDB，∴△AED∽△BDF，故答案为△BDF；② △ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠FDC，又 BD＝CF，∴△BDE≌△CFD（AAS），故答案为：△CFD；③ 四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°， AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，∴EF＝3，故答案为：3；（2）如图④，过点A作AF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 点A的坐标为（1，），∴AF＝，OF＝1， 四边形ABCO是正方形，∴AO＝OC，∠AOC＝90°， AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC，∴∠AOF+∠FAO＝90°＝∠AOF+∠COE，∴∠COE＝∠FAO，∴△AOF≌△OCE（SAS），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，∴点C坐标为：（﹣，1），故答案为：（﹣，1）；（3）如图⑤， AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，又 AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝64﹣＝2cm．3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明： BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°， ∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△A...