小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题1与垂线有关的计算与证明（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一运用垂直的定义直接计算典例1（2020•谷城县校级模拟）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．45°C．30°D．35°思路引领：先根据垂直的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．解： OE⊥AB，∴∠AOE＝90°， ∠COE＝55°，∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°．故选：D．总结提升：本题考查了对顶角相等的性质，垂直的定义，根据图形找出角的关系代入数据进行计算即可，比较简单．变式训练1．（2021春•江夏区期中）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝37°，则∠2的度数是（）A．37°B．53°C．43°D．63°小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思路引领：利用垂线的定义得∠BOC＝90°，从而得出∠BOE＝90°37°﹣＝53°，再根据对顶角相等可得答案．解： AB⊥CD，∴∠BOC＝90°， ∠1＝37°，∴∠BOE＝90°37°﹣＝53°，∴∠2＝∠BOE＝53°，故选：B．总结提升：本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握各性质是解题的关键，属于基础题．典例2（2021秋•松阳县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度数；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度数．思路引领：（1）先根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再由OE⊥CD得出∠DOE＝90°，进而可得出结论；（2）根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再由对顶角相等得出∠BOD的度数，根据平角的定义即可得出结论．解：（1） ∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°． OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°；（2） OA平分∠COE，∠AOC＝40°．∴∠AOE＝∠AOC＝40°，∠BOD＝∠AOC＝40°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝180°40°40°﹣﹣＝100°．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com总结提升：本题考查了角平分线，邻补角．解题的关键是掌握角平分线的定义．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．变式训练22．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．解： ∠BON＝25°，∴∠AOM＝25°， OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝25°， OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°25°﹣＝65°．典例3（2022春•阳高县月考）如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．思路引领：利用角平分线定义可得∠BON＝2∠EON＝42°，然后根据垂直定义可得∠AOC＝90°，进而可得∠AOM的度数．解： OE平分∠BON，∠EON＝21°，∴∠BON＝2∠EON＝42°，∴∠MOC＝42°， AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠AOM＝90°42°﹣＝48°．总结提升：此题主要考查了垂线，以及角平分线的定义，关键是掌握角平分线把这个角分成相等的两个角．变式训练1．（2022春•东莞市月考）如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF与∠BOF的度数．思路引领：利用垂直定义可得∠BOD＝90°，然后再利用对顶角相等可得∠DOF＝53°，再利用角的和差关系计算出∠BOF的度数即可．解： AB⊥CD，∴∠BOD＝90°， ∠COE＝53°，∴∠DOF＝53°，∴∠BOF＝90°+53°＝143°．总结提升：此题主要考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．类型二运用方程思想进行计算典例4（2021春•集贤县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度数．思路引领：利用角平分线及比例式求出角的关系，利用平角是180°，求出∠BOE＝∠DOE＝30°，OF平分∠COE得到∠EOF＝75°，求出∠BOF＝45°，根据邻补角的和等于18...