小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题8实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（解析版）类型一特殊到一般的思想第一部分专题典例剖析+针对训练典例1（2022春•临邑县期末）阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务．在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：❑√4×25=❑√100=¿10，❑√4×❑√25=¿2×5＝10．所以❑√4×25=❑√4×❑√25．小明：（❑√4×25）2＝4×25＝100．（❑√4×❑√25）2＝（2×5）2＝100．这就说明❑√4×25和❑√4×❑√25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以❑√4×25=❑√4×❑√25．任务：（1）猜想：当a≥0，b≥0时，❑√ab和❑√a×❑√b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明：（2）运用以上结论．计算：①❑√16×36；②❑√49×121；（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为❑√100，宽为❑√49，求这个长方形的面积．思路引领：（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，❑√ab=❑√a×❑√b；（2）根据法则计算①❑√16×36=❑√16×❑√36；②❑√49×121=❑√49×❑√121；（3）由长方形的面积可求S¿❑√100×❑√49=❑√100×49，再化简求值即可．解：（1）当a≥0，b≥0时，❑√ab=❑√a×❑√b；例如： ❑√4×9=¿6，❑√4×❑√9=¿6，∴❑√4×9=❑√4×❑√9；（2）：①❑√16×36¿❑√16×❑√36＝4×6＝24；②❑√49×121¿❑√49×❑√121＝7×11小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com＝77；（3） 长方形的长为❑√100，宽为❑√49，∴S¿❑√100×❑√49=¿70，答：这个长方形的面积为70．总结提升：本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．典例2请你观察下列计算过程：因为112=121，所以√121=11；用样，因为1112=12321，所以√12321=111；…；由此猜想√12345678987654321=________．思路引领：观察被开方数121、12321、…，这些数字都是从两头1开始，往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，…这就是说121，12321…，这些数的算术平方根分别是11，111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样．根据这个规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以√12345678987654321=111111111．答案：111111111．思路引领：本题考查数字规律问题，考查学生观察推测能力．变式训练1．（2022春•南京校级月考）观察等式：❑√3+❑√32=3❑√32，2+23=4×23，❑√5+❑√54=5❑√54，…（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数）；（2）按上述规律，若❑√10+ab=10a9，则a+b＝；（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．思路引领：（1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；（2）根据得出的规律确定出a与b的值，即可求出a+b的值；（3）根据题意写出满足题意的等式，验证即可．解：（1）根据题意得：❑√n+❑√nn−1=n❑√nn−1（n≥3的整数）；（2）根据题意得：❑√10+❑√109=10❑√109，得到a¿❑√10，b＝9，即a+b¿❑√10+¿9；（3）❑√11+❑√1110=11❑√1110．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：（1）❑√n+❑√nn−1=n❑√nn−1（n≥3的整数）；（2）❑√10+¿9总结提升：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2022春•福清市期中）先阅读下面材料，再解答问题：材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若a+b❑√m=¿0，其中a，b为有理数，❑√m是无理数，则a＝0，b＝0．证明： a+b❑√m=¿0，a为有理数∴b❑√m是有理数 b为有理数，❑√m是无理数∴b＝0∴a+0❑√m=¿0∴a＝0（1）若a+b❑√3=¿3+❑√3，其中a、b为有理数，请猜想a＝，b＝，并根据以上材料证明...