小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22平行线中的动态问题压轴题（解析版）类型一动点问题1．（2022春•安乡县期末）问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α．∠BCP＝∠β，试判断∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系，并画出相应的图形说明理由．思路引领：（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝100°．（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．解：（1）过P作PE∥AB，如图2： AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°128°﹣＝52°，∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°132°﹣＝48°，∴∠APC＝52°+48°＝100°；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E， AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E， AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．2．（2022春•房山区期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像∑❑❑，称为“∑❑❑形BAMCD”．（1）如图1，∑❑❑形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝60°；（2）如图2，连接∑❑❑形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．思路引领：（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com合（1）的结论可求解；（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．解：（1）过M作MN∥AB， AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，故答案为：60°；（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．理由：过A点作AP∥CD交BD于点P，∴∠APB＝∠D， ∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，∴∠BAP＝180°160°﹣＝20°，由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD， ∠AMC＝α，∴∠PAM+∠MCD＝α，∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；（3）如图，当D，C位于AM两侧时，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴∠CDM﹣∠ABD＝20°， ∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD20°﹣，即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；当D，C位于AM同侧时， ∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴...