专题04轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题(和最小，差最大问题)例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A(－6，0)，直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．(1)如图①，若点为的中点，求的长；(2)如图②，若点在轴上，且，求的度数；(3)如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB(点A在x轴正半轴上)．(1)若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：ABBD⊥；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；(2)如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．(1)如图①，若点为的中点，求的长；(2)如图②，若点在轴上，且，求的度数；(3)如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．类型二、几何图形中的最短路径问题例．已知点在内．(1)如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；(2)如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕(如图①)，点为其交点.(1)探求与的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若分别为上的动点.①当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，若点在线段上，，则的最小值=.【变式训练2】如图，等边(三边相等，三个内角都是的三角形)的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；(2)连接，求为何值时，；(3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.(1)如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______.(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________.【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD＝PC；(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是．小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是．(1)在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？...