专题03实数的四种特殊考法类型一、比较大小与实数估算例1．比较大小：__________．【答案】【详解】解： ，,∴，即，故答案为：．例2.比较下列实数的大小___________．【答案】【详解】解： ，即，∴，∴，故答案为：【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．【答案】a＜c＜b【详解】解： ，∴，即； ，∴，∴， ，∴，故答案为：【变式训练2】比较大小______．【答案】<【详解】解：，，．故答案为：．【变式训练3】比较大小：_____；_____(填“＞”或“＜”或“＝”)【答案】<<【详解】解：，∴， ．∴．故答案为：＜，＜．【变式训练3】比较与的大小．【答案】【详解】解：，，，，，．类型二、整数部分问题例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来， ，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如： ，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：(1)的整数部分是，小数部分是．(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．【答案】(1)4，；(2)【详解】(1)解： ，∴，∴的整数部分为4，小数部分为，故答案为：4；；(2)解： ，∴，∴，∴的整数部分是5，小数部分是，∴，∴．【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：(1)的整数部分是______，小数部分是______．(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；(3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数．【答案】(1)；(2)2；(3)【详解】(1)解：的整数部分是3，小数部分是，故答案为：；(2)的整数部分是1，小数部分为，的整数部分为3，小数部分为，(3)由题意得，的值的相反数为：．【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．根据以上材料，完成下列问题：(1)的整数部分是________，小数部分是__________；(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．(3)若，则________，________．【答案】(1)4，(2)3(3)，．【详解】(1)解：，的整数部分为4，小数部分为，故答案为：4，；(2)，，也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，，，，的算术平方根为；(3)，即，，，故答案为：，．【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)6(2)16(3)160【详解】(1)解：；(2) ，，，∴，，∴；(3) ，，，，∴，，，∴【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：(1)[]＝，的小数部分为；(2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．【答案】(1)2，(2)【详解】(1)解：4， 36＜40＜49，∴67，∴24＜3，∴原式的整数部分是2，小数部分为，故答案为：2，；(2)解： 4＜5＜9，∴23，∴，∴，∴，，∴．类型三、新定义问题例．定义：若无理数(为正整数)：(其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数)，则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为．解答下列问题：(1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________．(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值．【答案】(1)，(2)2或【详解】(1)解：，，的雅区间为，，，的雅区间为，故答案为：，；(2)解：无理数(为正整数)的“雅区间”为，，即，可能为5,6,7,8，又的“雅区间”为，即，为7或8，当时，，当时，．【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的...