小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题38排列组合与图论第一缉1．【2021年重庆预赛】已知xi∈{−1,1},i=1,2,…,2021,并且x1+x2+⋯+xk≥0(k=1,2,…,2020)，x1+x2+⋯+x2021=−1.则有序数组(x1,x2,⋯,x2021)的组数为.【答案】11011C20201010【解析】由x1+x2+⋯+x2020≥0,x1+x2+⋯+x2021=−1,x2021∈{−1,1},所以x2021=−1,x1+x2+⋯+x2020=0.所以在x1,x2,⋯,x2020中有1010个1、1010个−1，且随时保证x1+x2+⋯+xk≥0(k=1,2,⋯,2020).即为卡特兰数11011C20201010.2．【2021年浙江预赛】对于正整数n,若(xy−5x+3y−15)n展开式经同类项合并，xiyj(i,j=0,1,⋯,n)合并后至少有2021项,则n的最小值为.【答案】44【解析】由(xy−5x+3y−15)n=(x+3)n(y−5)n,共有(n+1)2项,所以(n+1)2≥2021,得n≥❑√2021−1,则nmin=44.3．【2021年广西预赛】某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门,则A、B、C三位学生可牟的选法有种.【答案】343【解析】每个同学有7种不同的选法，由乘法原理选法总数为73=343.4．【2021年新疆预赛】将正整数中所有数码不超过5的数从小到大排成一列，则第2021个数是.【答案】13205【解析】方法一：所有数码不超过5的数有5个,两位正整数有5×6=30个,三位正整数有5×62=180个，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com四位正整数有5×63=1080个，共有1295个:万位数为1,千位为0,共216个；万位数为1,千位为1,共216个;万位数为1，千位为2，共216个;共1943个，万位数为1,千位为3，百位是0,1各36个，共72个，一共1943+72=2015个，还差6个，百位是2，个位取0,1,2,3,4,5,所以第2021个数是13205.方法二:数码不超过5的数可以与一个六进制数建立一一对应关系,2021=1×64+3×63+2×62+0×6+5.利用除6取余法可得,即(2021)10=(13205)6,所以答案是:13205.5．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】现有10张卡片,每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数,且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中,规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中.一种放法称为"好的",如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有种.【答案】120【解析】用{i,j}表示写有i,j的卡片.易知这10张卡片恰为i,j(1≤i<j≤5).考虑"好的"卡片放法.五个盒子一共放有10张卡片,故1号盒至少有3张卡片.能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}.情况一:这4张卡片都在1号盒中,此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片,故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求,有26=64种好的放法.情况二:这4张卡片恰有3张在1号盒中,且其余每盒最多仅有2张卡片.考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒,且{1,5}在5号盒的放法数N.卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能,其中6种是在2,3,4号的某个盒中放两张,其余2种则是在2,3,4号盒中各放一张.若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中,不妨设{2,3},{2,4}在2号盒,则{2,5}只能在5号盒,这样5号盒已有{1,5},{2,5},故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒,即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一;若{2,3},{2,4},{3,4}在2,3,4号盒中各一张,则2,3,4号盒均至多有2张卡片,仅需再使5号盒中不超过2张卡片,即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中,对C30+C31=4种放法.因此N=6×1+2×4=14.由对称性,在情况二下有4N=56种好的放法.综上,好的放法共有64+56=120种.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．【2020年四川预赛】已知正四面体的四个表面上分别写有数字1、2、3、,将四个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的四个面上的四个数的和能被4整除的概率为.【答案】14【解析】和能被4整除的情况可分为以下几种:(1)四个面上的数字相同,共有4种;(2)四个面上的数字为1、3、2、2,共有A42种;(3)四个面上的数字为1、3、1、3,共有C42种;(4)...