小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题27数列第三缉1．【2016年新疆预赛】设数列{an}满足(2−an+1)(4+an)=8(n≥1),且a1=2.则1a1+1a2+...+1an=¿______.【答案】2n−n2−1【解析】由(2−an+1)(4+an)=8⇒2an−4an+1=anan+1，⇒2an+1−4an=1，则2an+1+1=(2a1+1)2n−1=2n，⇒1an=2n−12，故1a1+1a2+...+1an=2n−12.2．【2016年山西预赛】设集合A=¿,若将集合A∩B的元素按自小到大的顺序排成一个数列{ak}，则数列{ak}的通项公式ak＝__________.【答案】9k2−9k+2【解析】易知，A=(2,6,12,20,30,42,⋯)，B=(2,5,8,11,14,17,20,⋯).若n(n+1)=3m−1⇒(2n+1)2=3(4m−1).于是，4m-l为某个奇平方数的3倍．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设4m−1=3(2k−1)2.则2n+1=3(2k−1)⇒n=3k−2,m=3k2−3k+1(k=1,2,⋯).故ak=n(n+1)=3m−1=9k2−9k+2.3．【2016年山西预赛】设ak=2k32k+1(k∈N)，令A=a0+a1+⋯a9，B=a0a1⋯a9.则AB=¿__________.【答案】3210−1247−1236【解析】注意到，对于任何大于1的数m，均有1m−1−1m+1=2m2−1.上式两边乘以2k，并取m=32k，得2k32k+1=2k32k−1−2k+132k+1−1.①在式①中分别令后=O，1，…，9，然后相加得A=12−2103210−1.②又记C=20×21×⋯29=245，D=∏k=09(32k+1)¿12(320−1)∏k=09(32k+1)¿12(321−1)∏k=19(32k+1)=⋯¿12(3210−1).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则1B=DC=3210−1246.③由式②、③得AB=(12−2103210−1)(3210−1246)¿3210−1247−1246.4．【2016年全国】设a1、a2、a3、a4为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足(a12+a22+a32)(a22+a32+a42)=(a1a2+a2a3+a3a4)2.则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为________.【答案】40【解析】由柯西不等式知(a12+a22+a32)(a22+a32+a42)≥(a1a2+a2a3+a3a4)2，等号成立的充分必要条件为:a1a2=a2a3=a3a4，即a1、a2、a3、a4成等比数列.于是，问题等价于计算满足{a1,a2,a3,a4}⊆{1,2,⋯,100}的等比数列{a1,a2,a3,a4}的个数.设等比数列的公比q≠1，且q∈Q.记q=nm，其中，m、n为互素的正整数，且m≠n.先考虑n>m的情形.此时，a4=a1(nm)3=a1n3m3.注意到，m3与n3互素，故l=a1m3∈Z+¿¿.相应地，a1、a2、a3、a4分别等于m3l、m2nl、mn2l、n3l，它们均为正整数.这表明，对任意给定的q=nm>1，满足条件并以q为公比的等比数列{a1,a2,a3,a4}的个数，即为满足不等小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com式n3l≤100的正整数l的个数，即[100n3].由于53>100，故仅需考虑q=2,3,32,4,43的情形，相应的等比数列的个数之和为[1008]+[10027]+[10027]+[10064]+[10064]¿12+3+3+1+1=20.当n<m时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列{a1,a2,a3,a4}.综上，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4)5．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10成等比数列．则数列{an}的通项公式为________.【答案】n+6【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由已知得(10+2d)2=(10−d)(10+6d)⇒d=1.故an=a4+(n−4)d=n+6.6．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10成等比数列．则数列{an}的通项公式为________.【答案】n+6【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由已知得(10+2d)2=(10−d)(10+6d)⇒d=1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故an=a4+(n−4)d=n+6.7．【2016年上海预赛】数列{xn}定义如下:x1=23,xn+1=xn2(2n+1)xn+1¿，则x1+x2+⋅⋅⋅+x2014=¿___________。【答案】40284029【解析】由定义得1xn+1=2(2n+1)+...