高三数学答案第1页（共7页）石景山区2025年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）D（3）D（4）A（5）B（6）C（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2（12）35（13）3（14）yx=，14（答案不唯一）（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）选①③．由③得()2sin(2)fxx=+，又()16f=，所以2sin(2)16+=，即1sin()32+=，所以236k+=+或236k+=+kZ，所以26k=−或22k=+()kZ，又||2，所以6=−，所以()2sin(2)6fxx=−．…………7分选②③．由③得()2sin(2)fxx=+，又(012，）是()yfx=的对称中心，所以2sin(2)012+=，即sin()06+=，所以6k+=()kZ，所以()6kk=−Z，又||2，所以6=−，高三数学答案第2页（共7页）所以()2sin(2)6fxx=−．…………7分（Ⅱ）因为02x≤≤，所以2666x−−≤≤，所以sin(2126x−−)≤≤，所以1()2fx−≤≤，所以当266x−=−，即0x=时，()fx的最小值为1−，当262x−=，即3x=时，()fx的最大值为2．…………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共16人，设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，()PA可估计为11118224216CCCC2411205C+==．（Ⅱ）X的所有可能取值为01234,,,,．根据题中数据，(0)PX=可估计为4216()381=，(1)PX=可估计为1341232C()()3381=，(2)PX=可估计为22241224C()()3381=，(3)PX=可估计为334128C()()3381=，(4)PX=可估计为411()381=．所以X的分布列为X01234P168132812481881181EX可估计为1632248140123481818181813++++=．………11分或者因为1(4,)3XB，所以EX可估计为14433=（Ⅲ）012ab==,．…………13分高三数学答案第3页（共7页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）取PC的中点为F，连结NFBF,，因为,NF分别为PD，PC中点，所以//NFCD且12NFCD=，因为//ABCD，112ABCD==，所以//ABNF且ABNF=，即四边形ABMN是平行四边形．所以//ANBF，又AN平面PBC，BF平面PBC，所以//AN平面PBC．…………4分（Ⅱ）取CD的中点为E，连结AE．因为//ABCD，112CECDAB===，所以四边形ABCE是平行四边形．则1AE=，因为ABBC⊥，所以平行四边形ABCE是正方形．则AEAB⊥．因为PA⊥平面ABCD，,AEAB平面ABCD，所以PAAEPAAB⊥⊥，．则,,PAAEAB两两垂直．如图建立空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，()0,1,0B，(1,1,0)C，(1,1,0)D−，(0),0,2P．因此(0,02)AP⎯⎯→=,，(1,1,0)AD⎯⎯→=−，(0,2,0)CD⎯⎯→=−，(1,1,2)PC⎯⎯→=−．设平面PAD的一个法向量为()xyz=,,m，则00APAD⎯⎯→⎯⎯→==,,mm即200zxy=−=，，FNPDCABzyxEMNPDCAB高三数学答案第4页（共7页）令1y=，则1x=，所以(110)=,,m，设平面PCD的一个法向量为()abc=,,n，则00PCCD⎯⎯→⎯⎯→==，nn得2020babc=+−=，，令1c=，则2a=，所以(201)=,,n设二面角的平面角为，依题意，π02，所以||210cos|cos|||||525====，mnmnmn，所以二面角CPDA−−的余弦值为105．…………10分（Ⅲ）依题意，不妨设(02)AMkk=≤≤，则(00)Mk=,,，(11)MCk⎯⎯→=−,,．又由（Ⅱ）得平面PAD的一个法向量为(110)=,,m，设直线CM与平面PAD所成角为，所以2|||11|6sin|cos|||322MCMCk⎯⎯→⎯⎯→+====+,mmm，解得1k=（负值舍去），所以点M到平面PCD的距离为||15||55MC⎯⎯→==nn．…………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22224,2(2)1.4ba=+=解得28,2ab==．所以C的方程为22184xy+=．…………4分（Ⅱ）点,AB的坐标分别为(0,2),(0,2)−．由224,1,84ykxxy=++=得22(12)16240kxkx+++=．高三数学答案第5页（共7页）因为直线与椭圆C交于不同的两点，所以22(16)4(12)240kk=−+，即232k．设点,MN的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则114ykx=+，224ykx=+，1221612kxxk−+=+，1222412xxk=+．直线AN的方程为2222yyxx−=+，直线BM的方程为1122yyxx+=...