鱼塘解析几何讲评【试题再现】(第二届鱼塘杯18)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0)，点M是点F关于原点O的对称点，不与原点O重合的点A在以M为圆心，1为半径的圆上，过点A作C的切线l，切点为T.(1)求|FT|的最大值；(2)求|FA||FT|的最大值.OxyMAFT【基本情况】不去零平均分4.98，去零平均分8.04.最高16分，共3个.【命题背景分析】(1)是依靠自然的几何分析，明显当|FT|取最大值时，l与圆、抛物线均相切，此临界情况即为所求.(2)的背景即下面所讲的方法一，看个乐即可，不需要太深究。【试题解析】(1)由题意，p=2.设A(x0,y0)，T(y214,y1)，由对称性，不妨y1>0.方法一：(略去求极线过程)易知l:y1y=2x+y212.存在A使得|AM|=1等价于l到点M(−1,0)的距离不大于1.根据点到直线的距离公式，即d=2���y214−1����y21+4≤1，解得y21≤12.由抛物线几何性质，|FT|=y214+1≤4，当y1=2√3等号成立.方法二:易知y1是y2−2y0y+4x0=0的一根，不妨y0>0.y1=y0±�y20−4x0≤y0+�y20−4x0=�−2x0−x20+�−6x0−x20，只需求单变量最值即可.构造以下几何图形.ABMNABC我们构造两个向内切的圆，一个半径为3，另一个半径为1.任取二圆连心线垂线，与大圆交于A,小圆交于B，且A,B在连心线两侧.所求即|AB|的最大值.我们构造一个辅助圆，其半径与小圆一致，与小圆连心线垂直于原连心线，且与大圆外切于点M.由位置关系，|AB|≤|BC|=2√3，等号成立当且仅当A=M.进而我们有y1≤2√3，即|FT|=y214+1≤4，当y1=2√3等号成立.(2)方法一(命题背景):补出另一条切线，切点为P(y224,y2).同理AP:y2y=2x+y222.同构方程得TP:y0y=2(x+x0).先证明|AF|2=|FT|·|FP|.由勾股定理，|AF|2=(x0−1)2+y20.由几何性质，|FT|·|FP|=(y214+1)(y224+1)=y21y22+4(y1+y2)2−8y1y2+1616.注意y1,y2是方程y2−2y0y+4x0=0的两根，由Viete定理，y1+y2=2y0,y1y2=4x0.代入上式知结论成立.回原题.所以|AF|2|TF|2=|TF|·|FP||TF|2=|FP||FT|.MOATPFxy又|FP||FT|+|FT||FP|=y21+4y22+4+y22+4y21+4=2+(y21−y22)�1y22+4−1y21+4�=2+(y1−y2)2(y1+y2)216|FT|·|FP|=2+(y1−y2)2(y1+y2)216|FA|2=2+y20(y20−4x0)1−4x0≤3,所以解得|FA||FT|≤1+√52，等号成立当且仅当y20=1.注:此方法在考场上极难想到，因为题干并未提示到引理的长度等量关系，后面的不对称转对称也需要技巧支撑。事实上，不光有线段长度等量关系，甚至△AFT相似于△PFA，留作习题.方法二(两次放缩):由A在AT上，y0y1=2(x0+y214)≥−y1，故x0≥−y12−y214.|FA|=�(x0−1)2+y20=√1−4x0≤�1+2y1+y21=y1+1.进而|FA||FT|≤y1+1y214+1=4(y1+1)(y1+1)2−2(y1+1)+5≤4(y1+1)2√5(y1+1)−2(y1+1)=√5+12.等号成立当y1=√5−1，x1=−1.注:此解法虽短，两次放缩同时取等却需要勇气和灵感，本次考试有一名考生用此方法解决了本题，可惜未验证取等.方法三(暴力求根公式):设T(x20,2x0).与圆联立，选择距F较远一点，有�1x20+1�x2+4x+x20=0，故xA=−2−�3−x201x20+1.而|FT|=1+x20，|FA|=√1−xA，故可令f(x)=|FT||FA|=1+x2�1+42+√3−x21+1x2,令f′(x)=0，知2+√3−x2+x4−(3√3−x2+5)x2=0.令u=√3−x2,即(u+2)2(u2−u−1)=0.令f′(x)=0，x=√5−12，易知f(x)min=f(√5−12)=√5−12.故|FA||FT|max=√5+12.