数学试题第1页（共4页）绝密★启用前2024年8月“鱼塘鸽子杯”数学试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数1iz=−，则zz=A.1−B.1C.2D.22.若1，3a，4a成等差数列，则a=A.1−B.12−C.12D.13.设集合{|}Axyx==−R，B=N，则AB=∩A.B.{0}C.ND.R4.若(,)Pxy是单位圆上一点，则xy的最小值为A.2−B.1−C.12−D.14−5.在棱长为1的正方体ABCDEFGH−中，设O为中心点，则()OAOCOF+=A.1−B.12−C.0D.126.已知在ABC△中，sinsin()CAB−，则ABC△的最大内角为A.AB.BC.CD.无法比较7.若某正三棱锥的侧面为直角三角形，则该三棱锥的体积与其外接球体积之比为A.372B.3C.3D.3数学试题第2页（共4页）8.已知函数2e()ln2fxxx=−，2()22gxxax=−+−，若对于任意1(0,)x+，存在2xR，使得12()()fxgx，则a的取值范围是A.(1,1)−B.(2,2)−C.(,1)(1,)−−+∪D.(,2)(2,)−−+∪二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如果随机事件A，B，C满足A与B独立，A与C互斥，则A.()()PAPCB.()()PBPCC.A与B独立D.B与C独立10.在四面体ABCD中，ABAC⊥，BDCD⊥，2ADACBD=.P为线段BC上的一个动点，设为过点P且垂直于BC的平面，设平面与折线BAC相交于点M，与折线BDC相交于点N，则A.MPN是二面角ABCD−−的平面角B.平面截四面体ABCD的截面是三角形C.若60ABCBCD==，则直线AD与直线BC夹角的正弦值为63D.若60ABCBCD==，则二面角ABCD−−的余弦值为6311.1717年，法国流行一个赌博游戏：连续抛掷一个骰子四次，赌是否会出现至少一个6点，记“会出现至少一个6点”是事件A.经过试验，赌徒德·梅勒发现至少出现一个6点比不出现的几率似乎要稍微大一些.他总是赌“会出现”，每次结算下来他总是赢.在这个赌博游戏的一个“加强版”中，赌徒们需要猜测，连续抛掷两个骰子24次，是否会出现至少一对6点，记“会出现至少一对6点”为事件B，则A.德·梅勒的试验中，事件A发生的频率大于0.5B.可以根据德·梅勒的多次试验估计()PA比0.5大C.德·梅勒需要赌“不会出现”才能确保在“加强版”中赢的几率更大D.依据两个游戏之间存在的倍数关系，有()()PAPB=数学试题第3页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数()sinfxx=的图像与函数()gx的图像关于y轴对称，则()gx的一个解析式为.13.若2487870(1)xaxaxa+=+++，则357aaa++=.14.已知过椭圆22221xyab+=上点00(,)xy的切线方程是00221xxyyab+=.设1l，2l分别是椭圆22:173xyC+=的两条垂直切线，切点分别为11(,)Pxy，22(,)Qxy.设向量111(,)73xy=n，222(,)73xy=n，则122212+=nnnn.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知等差数列{}na的公差不为0，设数列{}na的前n项和为nS，且21()nnSaa=+.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足11,,nnnaanbaan−=+为奇数为偶数，求数列{}nb的前n项和.16.（15分）在ABC△中，sin(2)cos22ABC−=+.（1）求A；（2）若点D满足3cos3DBC=，且2BDAC==，求ABD△的面积.数学试题第4页（共4页）17.（15分）设倾斜角为6的直线l与椭圆2221(1)xyaa+=：交于点A，B.异于点A，B的一点C在上，且::2:3:1ABACBC=.当直线AC与x轴平行时，2BC=.（1）求的标准方程；（2）证明：原点O在ABC△的某条边上.18.（17分）已知函数()lnfxaxxb=−+，1e()(1)xgxaxcx−=+−+，其中,,abcR且0a.（1）当bc=时，证明：()()fxgx；（2）已知函数()fx，()gx均存在零点，且()0fx=是()0gx=的充要条件，求a.19.（17分）设M是关于x，y的多项式组...