第1页，共3页一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的2021级东北师大附中六模数学试题答案．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．5;13．23;14．63.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分13分）解：（1）1()(1)fxax，则(1)2,(1)1fafa,故曲线()yfx在1x处的切线为(1)(2)(1)yaax，即(2)1yax.当2a时，此时切线为1y，不符合要求；当2a时，令0x，有1y.令0y，有12xa，故112a，即3a.（2）1()(1)fxax，因为0ex，所以11ex.①当11ea时，即11ea时，()0fx，()fx在(0,e]上单调递增，所以()fx的最大值是(e)1(1)e2fa，解得1e3a，舍去；②当11ea时，即11ea时，令()0fx时，则101xa；令()0fx时，则11exa.所以()fx的单调递增区间是10,1a，单调递减区间是1,e1a.所以max1()ln(1)121fxfaa，所以e1a符合题意.综上，存在a符合题意，此时e1a.16.（本题满分15分）解:（1）记“面试号码为6号的学生来自A校、B校、C校”分别为事件A、B、C.将A校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为36C，事件A表示A校有1名学生的面试号码为6，则事件A包含的样本点数为25C，故25361)2C(PAC．同理，15261)3C(PBC，11161)6C(PCC.（2）随机变量X的取值为15，20，25，30.22361(15)20CPXC，23363(20)20CPXC，24366(25)20CPXC，253610(30)20CPXC.所以X的分布列为：13610105()15202530202020204EX．题号12345678答案CDABDCCC题号91011答案ABACBCDX15202530P1203206201020{#{QQABSQAEogCIAJAAAQgCEwEACkMQkBCACSgGgEAAsAABQQFABAA=}#}第2页，共3页17.（本题满分15分）解：（1）直线AM与DN相交.（2）取AD的中点为O，连接,POBO.因为PAPD，所以POAD.因为BC//AD,所以PAD就是直线PA与BC所成的角，所以tan2PAD，又底面ABCD是边长为2的正方形，所以22ADAO，5BO,由tan2POPADAO得,2PO.又3PB，则有222PBPOBO.所以POBO.又,ADBO平面ABCD，BOADO.所以PO平面ABCD.而PO平面PAD.所以平面PAD平面ABCD.（3）因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD.在正方形ABCD中，取BC的中点Q，连接OQ，则OQAD，又由（2）知PO平面ABCD，故以O为原点，OQ、OA、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴、建如图所示的空间直角坐标系.则(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)BDP.故(2,2,0),(2,1,2)BDBP.设平面BPD的法向量(,,)nxyz，则220220nBDxynBPxyz，取2x，则2,1yz.故(2,2,1)n.而平面APD的法向量为(1,0,0)m.22221(2)0102cos,3||||2(2)1mnmnmn.所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为23.18.（本题满分17分）解：（1）由题意可知222352cbacab，解得52ab，双曲线E的标准方程为22514xy；（2）由（1）知，2,0A，则直线1:2lx是线段AF的垂直平分线．因为以线段MN为直径的圆恰过点F，所以以线段MN为直径的圆恰过点A．所以ABAC，故0ABAC．设直线BC：xmyn，11,Bxy，22,Cxy，由双曲线的对称性可得B，C必在x轴两侧，则152m，故22555m．将xmyn代入22514xy，得22254105200mymnyn，则22Δ80540mn，1221054mnyym①，212252054nyym②，由B，C必在x轴两侧，可得2122520054nyym，因为22555m，所以2540m，所以25200n，所以2n，121222ABACxxyy...