高三（数学）答案第1页（共6页）2025～2026学年上学期期中考试26届高三（数学）试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.BCD10.AC11.ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.9413.221x14.33四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。15．（13分）【详解】（1）由题可得如下22列联表：是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时15050200周平均服务时长不超过2小时5050100总计200100300.....................2分设零假设0H：“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，.......3分可得220.001300(150505050)18.7510.828200100200100x，......................5分所以根据小概率值0.001的独立性检验，可以认为0H不成立，即认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关................6分（2）依题意，X的可能取值为0,1,2,3，从全省的志愿者队伍中随机抽取一位志愿者，取到周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的志愿者的概率为16.....7分高三（数学）答案第2页（共6页）故3512506216PX，21315251C,6672PX2231552C,6672PX3113.6216PX..............10分故X的分布列为X0123P12521625725721216..............11分则数学期望12525511012321672722162EX．或者11362EX....13分16．（15分）【详解】（1）由3sin3coscaBaB，根据正弦定理可得3sinsinsin3sincosCABAB，.........1分由πABC，则sinsinsincoscossinCABABAB，.........2分可得3sincos3cossinsinsin3sincosABABABAB，.........3分由0πB，即sin0B，则3cossinAA，即tan3A，.........5分根据0πA，解得π3A..........7分（2）由（1）有1133sin2224△ABCSbcAbcbc，.........8分由2DCDB有：22333346ADCABCSSbcbc，.........10分又由余弦定理有：222222cos2abcbcAbcbcbcbcbc，.........12分当3bc时，等号成立，所以29bca，所以33339662ADCSbc，...14分所以ADC△面积的最大值为332..........15分高三（数学）答案第3页（共6页）17．（15分）【详解】如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则3,0,0,0,3,0BD，1,0,3,1,3,0PM..........1分（1）2,0,30,3,3PBPM，，由13PNPB，可得23,0,33PN，223,3,33MNPNPM.........2分证明：设平面PAD的法向量为,,mxyz，1,0,30,3,0APAD，，则3030APmxzADmy，，解得30xzy，，令1z，得3,0,1m..........4分因为23230033MNm，所以MNm..........6分又MN平面PAD，所以//MN平面PAD..........7分（2）1,3,0AM，设2,0,30,1PNtPBttt，，则12,0,33ANAPPNtt，.........9分设平面AMN的法向量为111,,nxyz，则11113012310nAMxynANtxtz，，取131xt，则31,1,21nttt，........11分则cosmnmnmn，2223321134231121ttttt，.........12分化简得：21002010tt，解得110t，........14分所以110PNPB.........15分高三（数学）答案第4页（共6页）18．（17分）【详解】（1）由椭圆22:143xyΓ，得2224,3,1abc，所以2,1ac，所以12AFF△的周长为226ac；.....