广东省2025—2026学年高三年级一轮复习验收考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|－2＜x＜3}，B={x|x（x－5）＜0}，则A⋃B=A．{x|0＜x＜3}B．{x|－2＜x＜5}C．{x|－2＜x＜0}D．{x|3＜x＜5}【答案】B【解析】依题意，B={x|0＜x＜5}，则A⋃B={x|－2＜x＜3}⋃{x|0＜x＜5}={x|－2＜x＜5}．故选B．A．－B．C．－D．【答案】AA．B．3C．D．3【答案】A4.已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋an＋1=8，且S21=83，则a82A．2B．3C．5D．7【答案】C【解析】依题意，S21=a1＋10×8=83，则a1=3，故a2=5.而an＋an＋1=8，an＋1＋an＋2=8，两式相减可得，an=an＋2，故a82=5.故选C．A．0B．1C．2D．3【答案】D6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段AB的中点，平面A1PC1⋂平面ABCD=l，则直线l与直线A1C所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】CA．B．（－∞，e］C．（－∞，2］D．（－∞，1］【答案】DA．B．4C．D．2【答案】B月份x12345利润y58101215A．=2.8B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元C．可以估计10月份的利润为26.8万元D．5月份利润的残差为0.4万元【答案】AC（每选对1个得3分）10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在C上运动，直线l过点（4，0）且与直线l′：3x＋2y=0相互垂直．记直线l与C交于M，N两点，Q为线段MN的中点，则A．l在y轴上的截距为B．＋=19C．满足=的点P有2个D．＋≥【答案】BCD（每选对1个得2分）A．点P到平面ABCD的距离为2B．△PAD的面积为2C．S≥4＋4D．存在点P使得四棱锥P－ABCD有内切球，且内切球的表面积为（6－2）π【答案】ACD（每选对1个得2分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X~N（2，σ2），若2P（X＞3）=P（X≤3），则P（X＜1）=．13.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，则cos〈a－b，b＋2c〉=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S9=117，a4=11.（1）求数列{an}的通项公式；解：（1）依题意，S9=9a5=117，解得a5=13.（2分）故数列{an}的公差d=a5－a4=2，（4分）则an=a4＋（n－4）d=11＋2（n－4）=2n＋3.（6分）（2）求使得不等式Sn≤12成立的n的值．16.（15分）俄罗斯方块这一款游戏诞生于1984年，由苏联科学院工程师开发，受到了广大人群的喜爱，这款游戏的相关比赛也在各地层出不穷．已知孙三、赵四、王五进行一次俄罗斯方块游戏比赛，共比10场，规定每场比赛先得100分者获胜，现将三人每场比赛的得分（单位：分）情况统计如下．场次12345678910孙三7010080100100100809010070赵四60701005080709010080100王五1008090907080100807080（1）求孙三这10场比赛得分的下四分位数以及赵四这10场比赛得分的第40百分位数；（2）若从这10场比赛中随机抽取3场，记这3场比赛中赵四与王五分差的绝对值不低于20分的场次数为X，求X的分布列及数学期望．X0123P​​​​所以X的分布列为17.（15分）已知直三棱柱ABC－A1B1C1如图所示，点M在线段BC上，且∠AMC1=90°．（1）证明：AM⊥B1C1；（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以CC1⊥AM．（1分）又因为∠AMC1=90°，所以AM⊥MC1.（2分）因为CC1，MC1⊂平面BB1C1C，CC1⋂MC1=C1，所以AM⊥平面BB1C1C．（3分）又B1C1⊂平面BB1C1C，所以AM⊥B1C1.（4分）（2）若∠BAC=90°，AB=AC，平面AC1C与平面AC1M的夹角为60°，点R是线段B1B上靠近B1的四等分点，求直线A1R与平面AMC1所成角的正弦值．18.（17分）已知函数f（x）=ax＋1－（ax＋1）e－x，aR∈．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；（1）解：依题意，f（x）=x＋1－（x＋1）e－x，则f（0）=0，（1分）而f′（x）=1＋xe－x，（2分）故f′（0）=1，（3分）故所求切线方程为y=x．（4分）（2）当a≥1时，证明：f（x）≥x；（3）当a≤0时，证明：f（x）≤x（1－ax）．令M（x）=（x2＋3x＋1）ex－1，则M′（x）=（x2＋5x＋4）ex，令M′（x）=0，解得x1=－4，x2=－1，所以当x＜－4和x＞－1时，M′（x）＞0，则M（x）单调递增，...