数学试卷参考答案第1页（共7页）2024−2025学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案ABDCCBADC二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）（10）−2；（11）−80；（12）255；（13）23，1427；（14）13ACAB−，217；（15）6466325a−．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（Ⅰ）因为sinB=2sinC，由正弦定理可知b=2c，………………1分由余弦定理可得2221cos24bcaAbc+−==−，即222424144ccc+−=−，…………3分解得c=2，故b=4．………………4分（Ⅱ）由cosA=14−及A(0，)，得sinA=154，………………5分由正弦定理sinsinabAB=，得264sin154B=，………………7分解得sinB=104．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得sinC=108，所以cosC=368．………………9分所以sin2C=2sinCcosC=31516，cos2C=1−2sin2C=1116．………………11分所以cos(2C−23)=cos2Ccos23+sin2Csin23=111612−+3151632=951132−．………………14分{#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}数学试卷参考答案第2页（共7页）（17）解：取DA中点O，连结OC，OP，因为AC=CD，PA=PD，所以OC⊥AD，OP⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．…………………1分以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，–1，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)．所以PD=(0，–1，–1)，PC=(2，0，–1)，AP=(0，–1，1)，BA=(–1，0，0)，PB=(1，1，–1)，CD=(–2，–1，0)．…………………3分（Ⅰ）设n=(x，y，z)为平面PCD的一个法向量，则由00PDPC==，，nn得020yzxz−−=−=，，令x=1，则y=−2，z=2，从而n=(1，−2，2)．…………………4分因为AP=4AM，所以BM=BA+AM=BA+14AP=(–1，–14，14)．……5分因为BMn=0，所以BM⊥n．…………………6分又因为BM平面PCD，所以BM∥平面PCD．…………………8分（Ⅱ）设PB与平面PCD的夹角为，则sin=|cos<PB，n>|=||||||PBPBnn=333=33．…………………11分（Ⅲ）显然，平面ABC的一个法向量为OP=(0，0，1)，…………………12分设平面PCD与平面ABC夹角为，{#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}数学试卷参考答案第3页（共7页）则cos=||||||OPOPnn=231=23．…………………15分（18）解：（Ⅰ）设E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且mn），将(0，−1)，(3，12)两点代入得11314nmn=+=，，解得14m=，n=1，故E的方程为2214xy+=．…………………4分（Ⅱ）依题意，设直线l：x=ty−4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22444xtyxy=−+=，，消去x整理得(t2+4)y2−8ty+12=0，…………………5分则=(−8t)2−48(t2+4)＞0，即t2＞12，…………………6分且12284tyyt+=+，122124yyt=+．…………………7分直线AC：111111yyxx−−=++()，直线BC：221111yyxx−−=++()，令x=0，则111011yMx−++，，221011yNx−++，，令y=0，111101xPy+−−−，，221101xQy+−−−，，由3S△CMN=S△CPQ得3|yM−yN|=|xP−xQ|，即12121212111131111yyxxxxyy−−++−=−++−−，…………………11分{#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}数学试卷参考答案第4页（共7页）整理得2221212121211333139tyytyyyyyytyytyy−−−−=−+−+++()()()()()()，因为t2＞12，所以223363816ttt−=−+()，解得72t=，所以直线l的斜率为27．…………………15分（19）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，依题意，S3=3a1+3d=9，即a1=3−d，①(a2+3)2=(a3−1)a5，即(a1+d+3)2=(a1+2d−1)(a1+4d)，②将①代入②得d2+3d−10=0，因为d＞0，解得d=2，a1=1，…………………2分所以an=2n−1，Sn=n2．…………………4分（Ⅱ）（ⅰ）令a2m≤2n−1＜12ma+，即4m−1≤2n−1＜212m+，解得2m≤n＜22m+12，所以bm=22m−2m+1，即{bn}的通项公式为bn=4n−2n+1．………...