第1页（共6页）2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678BCCDACBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9．ABC10．BD11．ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．y＝xln3＋113．214．1564四、解答题：本大题共5小题，共77分。15．（13分）（1）x＝60，y＝75；··········2分（2）零假设为H0：选购新能源汽车的款式与性别无关联．根据列联表中的数据，可得𝜒2＝100(50×15−25×10)275×25×60×40≈5.556>3.841，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；··········5分（3）随机抽取1人购买B款车的概率为：p＝25100＝14，X的可能取值有0，1，2，3，依题意X服从B(3，14)，n＝3．因此，E(X)＝np＝4⋅14＝34．··········6分16．（15分）由题意知f′(x)＝ex(x＋1)－ax－a（a∈R）．（1）若a＝0，则f(x)＝xex，所以f′(x)＝ex(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1．所以f(x)在(－∞，－1)单调递减，在(－1，＋∞)单调递增，所以f(x)的极小值等于f(－1)＝－1e．··········4分第2页（共6页）（2）因为a＞1e，所以lna＞－1，由f′(x)＞0，即(ex－a)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞lna．故f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(lna，＋∞)．··········5分（3）当a＞1e时，f(x)的极大值等于f(－1)＝g(a)＝－1e＋12a＞−12e>−2e2；当a＝1e时，f′(x)≥0，f(x)无极大值；当0＜a＜1e时，由题意得，f(x)的极大值等于f(lna)＝g(a)＝－12a(lna)2，令g(x)＝－12x(lnx)2，所以g′(x)＝－lnx(12lnx＋1)，因为g(x)在210,e上单调递减，在211,ee上单调递增，所以故g(x)≥21eg＝－2e2，综上所述，g(a)≥－2e2．··········6分17．（15分）（1）（i）因为AP＝AD＝2√2，AB＝PB＝2，所以AB2＋PB2＝AP2，所以AB⊥BP．又因为AB⊥BD，所以AB⊥平面BPD．··········4分（ii）VP—ABD＝VA—PBD＝13·S△PBD·AB＝2√33．··········4分（2）如图，建立以B为原点的空间直角坐标系，设二面角P—BD—A的平面角为θ，则A(2，0，0)，B(0，0，0)，D(0，2，0)，P(√3cos𝜃，1，√3sin𝜃)．所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗＝(√3cos𝜃−2，1，√3sin𝜃)．平面ABD的法向量为n＝(0，0，1)．第3页（共6页）设直线AP与平面ABD所成角为θ，则sinα＝cos<𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，n>＝√3sin𝜃√(√3cos𝜃−2)2+1+(√3sin𝜃)2＝√3sin𝜃√8−4√3cos𝜃．设y＝(√3sin𝜃√8−4√3cos𝜃)2＝3(1−cos2𝜃)8−4√3cos𝜃，设8－4√3cosθ＝t（8－4√3≤t≤8＋4√3），所以y＝1－1𝑡－𝑡16≤12，（当且仅当t＝4，即cosθ＝√33时取等号），即sinθ≤√22．直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为√22.··········7分18．（17分）（1）由题意知p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．··········4分（2）设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－1，y1)，B1(－1，y2)，D(2，0)．所以{𝑦2＝4𝑥，𝑥＝𝑚𝑦+1，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．所以直线A1D的方程为：y＝－𝑦13(x－2)，与直线AB的方程x＝my＋1联立，解得yM＝𝑦1𝑚𝑦1+3，同理yN＝𝑦2𝑚𝑦2+3．所以1𝑦𝑀+1𝑦𝑁＝𝑚𝑦1+3𝑦1＋𝑚𝑦2+3𝑦2＝2m＋3(𝑦1+𝑦2)𝑦1𝑦1＝－m＝1．所以m＝－1．所以直线AB的斜率为1𝑚＝－1．··········6分（3）设E(t，0)，因为𝑘1𝑘2＝𝑦𝑀𝑥𝑀−𝑡⋅𝑥𝑁−2𝑦𝑁＝𝑦1𝑚𝑦1+3𝑚𝑦1𝑚𝑦1+3+1−𝑡⋅𝑚𝑦2𝑚𝑦2+3+1−2𝑦2𝑚𝑦1+3＝−3𝑦1(2−𝑡)𝑚𝑦1𝑦2+(3−3𝑡)𝑦2．因为y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．所以𝑘1𝑘2＝−3𝑦1(2−𝑡)𝑚⋅(−4)+(3−3𝑡)(4𝑚−𝑦1)=−3𝑦1(3𝑡−3)𝑦1−𝑚(8𝑡−4)，（第17题答案）第4页（共6页）当t＝12时，𝑘1𝑘2＝2为定值．所以E(12，0)．··········7分19．（17分）（1）当n＝3时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故P3＝{2}．当n＝4时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3...