淮北市2025届高三第二次质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.D4.C5.B6.B7.A8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每题选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分.9.ABD10.ABD11.BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.213.17-3214.第一空为256π3（2分），第二空为74（3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.(Ⅰ)由b=2aC+π4sin得Bsin=2AsinC+π4sin因为Bsin=A+Csin=AsinCcos+AcosCsin，2C+π4sin=Csin+Ccos所以AsinCcos+AcosCsin=AsinCsin+Ccos即AcosCsin=AsinCsin所以Atan=1所以A=π4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(Ⅱ)由三角形的面积为2知12bcAsin=2,所以bc=4由余弦定理知a2=b2+c2-2bcAcos，即b2+c2=1+42所以b+c2=b2+c2+2bc=9+42=1+222故b+c=1+22所以三角形的周长为a+b+c=2+22.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分16.(Ⅰ)分别在△ABD和△CBD中使用余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD⋅AB⋅θcos=CD2+CB2-2CD⋅CB⋅θcos即1+4-4θcos=3+3-6θcos得θcos=12所以θ=π3;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(Ⅱ)因为AB=2,AD=1,∠BAD=π3,所以BD=3,从而∠ADB=π2,所以BD⏊AD.又SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AD,又AD⋂BD=D，所以AD⊥平面SBD，所以AD⊥SB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分Ⅲ方法一：设三棱锥S-ABC的体积为V，△ABC和△SBC的面积分别为S1,S2，点A到平面SBC的距离为h，则S1=3,S2=394，V=13S1⋅SD=33,且V=13S2⋅h=13⋅394h,由13⋅394h=33得h=41313所以SA与平面SBC所成角的正弦值为hSA=22613.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分方法二：以D为坐标原点，分别以DA，DB，DS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则·1·S0,0,1,A1,0,0,B0,3,0,C-32,32,0,SA=1,0,-1,SB=0,3,-1,BC=-32,-32,0设平面SBC的法向量为n=x,y,z,则3y-z=0-32x-32y=0所以可取n=-1,3,3,所以SA与平面SBC所成角的正弦值为SA⋅nSA⋅n=426=22613.⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分17.(Ⅰ)若a=1，则fx=x22-2x+lnx，fx=x-2+1x所以f1=0,f1=-32，函数fx在x=1处的切线方程为y=-32；⋯⋯⋯⋯5分(Ⅱ)fx的定义域为0,+∞，fx=x-2+ax=x2-2x+ax当a=0时fx=x22-2x，fx有且仅有一个零点4；⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当a≥1时，fx≥0，函数fx递增，由f1<0,f4=aln4>0，知fx存在唯一零点x0∈(1,4)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当0<a<1时，令fx=0得x1=1-1-a,x2=1+1-a，0<x1<1<x2当x∈0,x1时fx>0，函数fx递增；当x∈x1,x2时fx<0，函数fx递减；当x∈x2,+∞时fx>0，函数fx递增；当x∈(0,1]时，x22-2x<0,alnx≤0，所以fx<0，函数fx无零点；因为当x∈1,x2时fx递减，当x∈x2,+∞时fx递增，且fx2<f1<0，f4=aln4>0，所以fx存在唯一零点x0∈(1,4).综上所述,当a≥0时，fx有且仅有一个零点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分18.(Ⅰ)由kPA⋅kPB=14得3-4+a⋅3-4-a=316-a2=14，解得a2=4，又16a2-3b2=1，解得b2=1，于是E的方程为：x24-y2=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(Ⅱ)(方法1)设Q(x0,y0)，M(m,0)，显然-2<m<2，设直线PM：x=ty+m，与x2-4y2-4=0联立，消去x得(t2-4)y2+2tmy+m2-4=0，则3y0=m2-4t2-4又P(-4,3)在直线PM：x=ty+m上，得3t=-4-m，代入上式得y0=3(m2-4)m2+8m+4于是s1-s2=12⋅3⋅(m+2)-12⋅y0(2-m)=3即m+2+(m2-4)(2-m)m2-2m+4=2整理得5m2+4m-4=0·2·解得m=26-25，进而y0=-22，x0=6即所求Q点坐标为6,-22.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分(方法2)设Q(x0,y0)M(m,0)，显然直线PQ的斜率存在，其方程为：y-3=y0-3x0+4(x+4)，令y=0，解得m=-3x0+4y0y0-3(1)依题意s1-s2=12⋅3⋅(m+2)-12⋅y0(2-m)=3将(1)代入上式，消去m得32-3x0+4y0y0-3+2+12y02+3x0+4y0y0-3=3整理得-3x0-6y0+23y02+x0y0=0即(y0-3)(23y0+x0)=0由y0<0知x0=-23y0联立x02-4y02-4=0解得x0=6,y0=-22.即所求Q点坐标为6,-22.⋯⋯⋯⋯...