数学试题与参考答案第1页（共7页）长沙市2026年高三年级模拟考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ADBCCBCC8．【解析】由题意可知，该船空船时不受水深影响．设其卸货前的吃水深度为d，在xh时的安全水深为ym，则1.5(4)(4)8ydxx（*）．设π()2sin5.5([4,12])8fxxx，则2ππ'()cos88fxx．当方程（*）对应的直线与曲线()yfx相切时，d达到最大值．此时，π'()8fx，解得10x或6x（舍）；由(10)4.5f，可得1.5(104)4.58d，解得334d，则5.35dm．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】ABD10．【答案】AC11．【答案】AC10．【解析】令1xy，则(1)2(1)ff，解得(1)0f，即A正确．令1xy，则(1)(1)(1)2(1)ffff，解得(1)0f；令1y，则(1)()()()ffxfxfxx，可得()fx为奇函数，即B错误．当01x时，令1yx，有1()(1)()fxfxfxx，则21()()0fxfxx，可得()0fx．而()fx为奇函数，则10x时，()0fx，即C正确．将()()()fxfyfxyyx两边同时乘以xy，得到()()()xyfxyxfxyfy，可设数学试题与参考答案第2页（共7页）()ln||(0)xfxxx，则ln||()xfxx．当0x肘，ln()xfxx，则21(n')lfxxx，可得()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，此时，1x不为()fx的极值点，即D错误．11．【解析】22222||||||(5)(5)299|4|MMMMMMPMCPCxyxxx，可知选项A正确．如下两图所示，过点M，作直线4x的垂线，垂足为1H，作准线12x的垂线，垂足为2H；过点N，作直线4x的垂线，垂足为3H，作准线12x的垂线，垂足为4H．根据左图，当点P在直线4x的左侧时，可知13||||||MNMHNH，为直角梯形13MHHN的中位线长的两倍．若M，N在x轴的两侧时，||MN有最小值为4；若M，N在x轴的同一侧时，当4Px时，||0MN，即选项B错误．如左图，根据以上证明，可知1||||MPMH，3||||NPNH；再根据抛物线定义，可知2||||MFMH，4||||NFNH．从而，MNF△的周长为123412|4()|2||||9HHHH，即选项C正确．如右图，当点P在直线4x的右侧时，同理可得||||||9MFNFMN．若M，N在x轴的两侧时，而13||||||MNMHNH，为直角梯形13MHHN的中位线长的两倍，则||MN有最小值为8，此时，则MNF△的周长为9|2|MN，其最小值为25；若M，N在x轴的同一侧时，当4Px时，||0MN，MNF△的周长趋于9，此时不存在最小值，即选项D错误．数学试题与参考答案第3页（共7页）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】(21,0)k，其中kZ．任写一个满足条件的都可以．13．【答案】32【解析】由1122AEACAD，CDADAC，且1AD，可知22223111111()()122222222AECDACADADACADAC．14．【答案】336【解析】如图所示，由题意可知，点A在以BC为直径的截面圆'O上运动，则224ABAC，可得2211()124ABCSABACABAC△，当且仅当2ABAC时取等号．连接OA，OD，在OAD△中，6AD，2OAOD，由余弦定理可得3cos2OAD，则点D的轨迹是以直线OA为中心轴的圆锥与该球面的截面圆E，其半径66sin2DEDAE，且326cos2AEDAE．当ABAC时，max1ABCS△，此时过点D，作DH平面ABC于点H．根据对称性，垂足H必在AO上，易知45OAO，则75DAH．当点D到平面ABC的距离最大时，33sin752DHAD，故四面体DABC的体积的最大值为33331113326ABCDABCVSDH三棱锥△．数学试题与参考答案第4页（共7页）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）【解析】（1）由sinsin()sin...