试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司2026届高三四校联考数学参考答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678ABDBCABC二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分.91011BDACDABD11.解析：若在曲线上，则也在曲线上，故曲线关于x轴对称，A正确；，曲线内部包含圆，B正确；令，则，C错误；在上单调递增，且，从而由知。由，从而，故，D正确。第II卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.12.113.8014.（-1，0）四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）设公差为，，，两式相减得，从而。……2分，代入得，解得，从而。……4分故，.……6分（2）由（1）得，，故，……9分则，试卷第4页，共5页故.……13分16.【详解】（1）记甲,乙,丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲,乙,丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件，则．……4分（2）．……8分（3）记甲,乙,丙三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，……9分（不写不扣分）则，……10分，……11分，……12分，……13分则的分布列为0123……14分则数学期望．……15分17.【详解】（1）由题意，，从而，……2分，解得，所以抛物线的方程为.……4分（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得……6分（不写不扣分）试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司设则是上述方程的两个实根，于是．……7分因为，所以的斜率为．设则同理可得……8分故……10分……14分当时等号成立，故的最小值为64.……15分18.【详解】(1)由题意可知两两垂直,以C为原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系……1分，，……2分设平面的法向量为令则，取取平面的一个法向量……4分……5分所以平面与平面夹角的余弦值为.……6分试卷第4页，共5页(2)（i）法1：连接,过点作的垂线交圆于点Q，则线段BQ就是点P的轨迹……8分理由如下：平面，平面，，，平面，平面，平面，……10分（不证明扣2分）圆O半径为2，△OBC为正三角形，由垂径定理可得，线段BQ长度为……11分（另法：平面平面，交线OC，由面面垂直性质定理，得到，则）法2：设,则,由得……9分圆心O到直线的距离为1，所以所以动点轨迹形状为线段，长度为.……11分（ii）取中点,连接,则有平面PM为EP在平面上的射影，所以，……13分在中,，……15分所以EP=……17分19.【详解】（1），由题意得，解得……3分（2）因为,所以,故，……4分若,则恒成立，所以在上单调递增，无极值点；……5分若,则恒成立,所以在上单调递减，无极值点；……6分若,由得，在上,单调递减,存在唯一的，使得试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司，当时,,当时,,所以在()上单调递增,在（）上单调递减，有一个极值点；……8分综上，当或时，在上无极值点；当时，在上有一个极值点.（不写综上所述，不扣分）（3）,令是关于的二次函数，对称轴为，令，则，令，则，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上单调递增.……11分问题可转化为证明，即证……12分令，则，……13分令，则，……14分所以在上单调递减，且，……15分所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，……16分所以，即，证毕.……17分