第1页，共8页2024-2025学年湖北省鄂北六校高一下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知cos(2025𝜋2+𝛼)=−14，那么sin𝛼=()A.−14B.14C.−154D.1542.己知向量𝑎=(2,2)，则与向量𝑎方向相反的单位向量是()A.(1,0)B.(1,1)C.(22,22)D.(−22,−22)3.已知向量𝑎=(1,2)，𝑏=(1,−2)，则下列结论正确的是()A.𝑎//𝑏B.𝑎⋅𝑏=2C.(𝑎+𝑏)⊥(𝑎−𝑏)D.|𝑎|=54.一船以每小时15𝑘𝑚的速度向东航行，船在𝐴处看到一个灯塔𝐵在南偏东30∘，行驶𝑥小时后，船到达𝐶处看到灯塔在南偏西60∘，此时测得船与灯塔的距离为303𝑘𝑚，则𝑥=()A.2B.3C.4D.55.若sin(𝛼−𝛽)sin𝛽−cos(𝛼−𝛽)cos𝛽=45，且𝛼为第三象限角，则tan(𝜋4+𝛼)=()A.7B.−7C.17D.−176.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔⋅𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的部分图象如图所示，下列说法不正确的是()A.𝜔=2，𝜑=𝜋3B.函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=5𝜋12对称C.函数𝑓(𝑥)的图象关于(−2𝜋3,0)对称D.函数𝑓(𝑥)在[−5𝜋12,𝜋12]上单调递增第2页，共8页7.定义两个向量𝑎，𝑏之间的一种运算：𝑎∗𝑏=|𝑎|⋅|𝑏|sin𝜃，其中𝜃是向量𝑎，𝑏的夹角，则对于非零向量𝑎，𝑏，下列结论不一定成立的是()A.该运算满足交换律，即𝑎∗𝑏=𝑏∗𝑎B.若向量𝑎，𝑏共线，则𝑎∗𝑏=0C.𝑎∗𝑏的值等于以𝑎，𝑏为邻边的平行四边形的面积D.对任意向量𝑐，有(𝑎+𝑏)∗𝑐=𝑎∗𝑐+𝑏∗𝑐8.当𝑥∈[0,2𝜋]时，曲线𝑦=sin𝑥与𝑦=2cos(3𝑥−𝜋6)的交点个数为()A.3B.4C.6D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有()A.函数𝑦=tan𝑥的对称中心是(𝑘𝜋,0)，𝑘∈𝑍B.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴>𝐵⇔sin𝐴>sin𝐵C.𝑎=(−1,2)，𝑏=(0,1)，则𝑎在𝑏上的投影向量等于2𝑏D.两个非零向量𝑎，𝑏的夹角是锐角⇔𝑎⋅𝑏>010.计算下列各式的值，结果为2的有()A.tan75°+tan120°B.1sin15∘cos15°C.(1+tan20°)⋅(1+tan25∘)D.1cos80∘−3sin80∘11.如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，延长边𝐶𝐷至点𝐸，使得𝐷𝐸=𝐶𝐷.动点𝑃从点𝐴出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到𝐴点，若𝐴𝑃=𝜆𝐴𝐵+𝜇𝐴𝐸，则()A.当点𝑃在线段𝐴𝐵上移动时，𝜆+𝜇∈[0,1]B.满足𝜆+𝜇=1的点𝑃有且只有一个C.满足𝜆+𝜇=2的点𝑃有两个D.𝜆+𝜇最大值为3第3页，共8页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知扇形的周长为9𝑐𝑚，圆心角为1𝑟𝑎𝑑，则该扇形的面积为𝑐𝑚2．13.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎2−𝑏2=𝑏𝑐，sin𝐶=2sin𝐵，则角𝐵为．14.把函数𝑓(𝑥)=3sin𝜔𝑥+cos𝜔𝑥(0<𝜔<2𝜋)的图象向左平移𝜋6个单位长度，得到的函数是奇函数，则𝜔的值为，若函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝑎]上存在最大值2，则实数𝑎的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量𝑎，𝑏满足：|𝑎|=2，|𝑏|=3，(2𝑎−𝑏)⋅(𝑎+2𝑏)=2．(1)求𝑎与𝑏的夹角𝜃的余弦值;(2)若(𝜆𝑎+2𝑏)⊥(𝑎−𝜆𝑏)，求实数𝜆的值．16.(本小题15分)已知函数𝑓(𝑥)=4sin(𝜔𝑥+𝜋6)(𝜔>0)的图象相邻两个零点之间的距离为𝜋2，(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式及𝑓(𝑥)>2的解集;(2)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴为△𝐴𝐵𝐶的一个内角，若满足𝑓(𝐴)=−4，𝐵𝐶=3，且𝑆△𝐴𝐵𝐶=3，求△𝐴𝐵𝐶周长．17.(本小题15分)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=4，∠𝐵𝐴𝐶=60∘，𝑀是𝐵𝐶的中点，𝑁是𝐴𝐶上的点，且𝐴𝑁=𝑥𝐴𝐶，𝐴𝑀，𝐵𝑁相交于点𝑃.设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐶=𝑏:(1)若𝑥=13，试用向量𝑎，𝑏表示𝐴𝑀，𝑀𝑁;(2)若𝐴𝑀⊥𝑃𝑁，求△𝐴𝐵𝑁的面积．18.(本小题17分)中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为2sin18∘.三倍角公式是把形如sin3𝛼，cos3𝛼等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科．第4页，共8页(1)已知cos3𝛼=4cos3𝛼−3cos𝛼试证明此三倍角公式;(2)若角𝛼满足cos3𝛼cos𝛼=−12，求sin3𝛼sin𝛼的值(已知sin3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼);(3)试用三倍角公式并结合三角...