第1页，共10页2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高一下学期5月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知𝑖是虚数单位，则复数𝑖−21+2𝑖=()A.𝑖B.−𝑖C.−45−35𝑖D.−45+35𝑖2.已知向量𝑎，𝑏满足𝑎=(1,3)，𝑏=(−32,12)，若(𝑎+𝑏)⊥(𝑎−𝜆𝑏)，则实数𝜆的值为()A.2B.4C.23D.923.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑐=1，sin𝐴=2sin𝐶，cos𝐵=14，则△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=()A.1B.215C.15D.1544.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝐸为𝐶1𝐷1中点，𝑀是线段𝐸𝐷的中点，则()A.𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀，𝐸𝑁是相交直线B.𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀，𝐸𝑁是相交直线C.𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀，𝐸𝑁是异面直线D.𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀，𝐸𝑁是异面直线5.若cos𝛼+cos𝛽=12，cos(𝛼−𝛽)=−5972，其中𝛼，𝛽∈(0,𝜋)，则sin𝛼+sin𝛽=()A.12B.13C.22D.33第2页，共10页6.将函数𝑓(𝑥)=cos2(𝜋12+𝑥)−cos2(5𝜋12−𝑥)的图象向左平移𝜑(𝜑>0)个单位长度后，横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到函数𝑔(𝑥)的图象，若𝑔(𝑥)满足𝑔(𝜋12+𝑥)=𝑔(𝜋12−𝑥)，则𝜑的最小值为()A.𝜋12B.𝜋8C.𝜋4D.3𝜋87.在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝑎、𝑏、𝑐分别是角𝐴、𝐵、𝐶所对的边，已知2𝑎−𝑐3=cos𝐶cos𝐵且𝑏=3，则锐角△𝐴𝐵𝐶面积的取值范围为()A.(0,233)B.(33,93]C.(332,934]D.(0,934]8.已知实数𝑥，𝑦，满足𝑦=𝑥2−7𝑥+16(1≤𝑥≤5)，则3𝑥−𝑦𝑥2+𝑦2的最大值为()A.1B.94141C.3D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是()A.复数𝑧=2−𝑖的虚部为−𝑖B.若1+𝑖是关于𝑥的二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2=0(𝑎,𝑏∈𝑅)的根，则1−𝑖也是该方程的根C.𝑖+𝑖2+𝑖3+⋯+𝑖2025=𝑖D.若复数𝑧满足|𝑧|=1，则|𝑧−3−4𝑖|的最大值为610.如图，圆锥𝑆𝑂的底面半径为1，侧面积为3𝜋，△𝑆𝐴𝐵是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是()A.圆锥的母线长为3B.圆锥𝑆𝑂的侧面展开图的圆心角为𝜋2C.由𝐴点出发绕圆锥侧面一周，又回到𝐴点的细绳长度的最小值为33D.该圆锥内部可容纳的球的最大半径为22第3页，共10页11.已知𝑂，𝐻在△𝐴𝐵𝐶所在平面内，|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=|𝑂𝐶|=3，𝐻𝐴⋅𝐻𝐵=𝐻𝐵⋅𝐻𝐶=𝐻𝐶⋅𝐻𝐴，𝑂𝐻=1，记𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，则下列说法正确的是()A.𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心B.𝐻为△𝐴𝐵𝐶的内心C.𝑂𝐻=𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶D.𝑎2+𝑏2+𝑐2=81三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎=3，sin𝐴=33，𝑏=233，则cos𝐵=．13.已知函数𝑓(𝑥)=3sin𝑥+4cos𝑥在𝑥=𝑥0处取得最小值，则sin(𝑥0+𝜋3)=．14.四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐶=22，且异面直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成角为60∘.若四面体外接球半径为6，则四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的体积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，其中𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵//𝐷𝐶，梯形上方为14圆.若将阴影图形绕𝐴𝐸旋转一周．(1)求阴影图形形成的几何体的表面积;(2)求阴影图形形成的几何体的体积．16.(本小题15分)已知𝑚=(23sin𝑥,2cos𝑥)，𝑛=(cos𝑥,cos𝑥)(1)若𝑚//𝑛，求cos2𝑥;(2)若𝑓(𝑥)=𝑚⋅𝑛，(ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间;第4页，共10页(ⅱ)英国数学家泰勒(𝐵.𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟,1685−1731)发现了如下公式：cos𝑥=1−𝑥22!+𝑥44!−𝑥66!+⋯，其中𝑛!=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×3×2×1，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性.运用上述思想，计算𝑓(𝜋6−12)的值.(结果精确到小数点后3位，参考数据：14!≈0.04167，16!≈0.00139)17.(本小题15分)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸=𝐸𝐵，𝐶𝐷=2𝐷𝐵，点𝑂为𝐴𝐷和𝐶𝐸的交点，设𝐵𝐴=𝑎，𝐵𝐶=𝑏．(1)若𝐵𝑂=𝑥𝑎+𝑦𝑏，求𝑥，𝑦的值;(2)若|𝑎|=2，|𝑏|=3，𝑎与𝑏的夹角为𝜋3，(ⅰ)求△𝐵𝑂𝐷的面积;(ⅱ)求∠𝐴𝑂𝐵的余弦值．18.(本小题17分...