第1页，共7页2024-2025学年山东省名校联盟高一下学期3月校际联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量𝐴𝐵=(−2,1),𝐴𝐶=(3,4)，则𝐵𝐶=()A.(1,5)B.(−1,−5)C.(−5,−3)D.(5,3)2.已知𝑖是虚数单位，则2𝑖1+𝑖=()A.1+𝑖B.1−𝑖C.−1−𝑖D.−1+𝑖3.在▵𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=1,𝐴𝐶=2,∠𝐵𝐴𝐶=𝜋3，则▵𝐴𝐵𝐶的面积为()A.32B.3C.1D.24.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐷在线段𝐵𝐶上，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，若𝐴𝐵=2𝐴𝐶，则()A.𝐴𝐷=14𝐴𝐵+34𝐴𝐶B.𝐴𝐷=34𝐴𝐵+14𝐴𝐶C.𝐴𝐷=13𝐴𝐵+23𝐴𝐶D.𝐴𝐷=23𝐴𝐵+13𝐴𝐶5.如图，在测量河对岸的塔高𝐴𝐵时，可以选取与塔底𝐵在同一水平面内的两个测量基点𝐶,𝐷.现测得∠𝐵𝐶𝐷=𝛼,∠𝐵𝐷𝐶=𝛽,𝐶𝐷=𝑙，在点𝐶测得塔顶𝐴的仰角为𝜃，则塔高𝐴𝐵=()A.𝑙⋅tan𝜃sin𝛽sin𝛼+𝛽B.𝑙⋅tan𝜃sin𝛼+𝛽sin𝛽C.𝑙⋅sin𝜃sin𝛼+𝛽sin𝛽D.𝑙⋅sin𝜃sin𝛽sin𝛼+𝛽6.已知复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)可以表示为𝑧=𝑟(cos𝜃+𝑖sin𝜃)，其中𝑟=𝑎2+𝑏2，𝜃是以𝑥轴非负半轴为始边，向量𝑂𝑍所在射线为终边的角．已知𝑧1=𝑟1(cos𝜃1+𝑖sin𝜃1)与𝑧2=𝑟2(cos𝜃2+𝑖sin𝜃2)的乘积𝑧1𝑧2=𝑟1𝑟2[cos(𝜃1+𝜃2)+𝑖sin(𝜃1+𝜃2)]，则将向量𝑂𝑍1=(1,2)绕原点𝑂逆时针旋转90∘，长度变为原来的2倍后，得到向量𝑂𝑍2的坐标为()A.(2,−4)B.(−4,2)C.(−2,4)D.(4,−2)7.如图所示，▵𝐴𝐵𝐶的三条边均与圆𝑂相切，其中𝐵𝐶=20,∠𝐴𝐵𝐶=120∘,∠𝐴𝐶𝐵=20∘，则圆𝑂的半径约为()(cos10∘≈0.985)A.5.861B.5.674第2页，共7页C.5.076D.4.9268.已知向量𝑎,𝑏,𝑒是平面向量，|𝑒|=1，若非零向量𝑎与𝑒的夹角为60∘，向量𝑏满足𝑏2−8𝑒⋅𝑏+15=0，则|𝑎−𝑏|的最小值为()A.23+1B.23−1C.3+1D.3−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量𝑎=(2,1),𝑎−𝑏=(4,−3)，则下列说法正确的是()A.𝑎⊥𝑏B.|𝑎+𝑏|=5C.向量𝑎+𝑏与𝑎的夹角的余弦值为255D.向量𝑎−𝑏在𝑎上的投影向量为𝑎10.设𝑧1,𝑧2为复数，则下列结论正确的有()A.𝑧1𝑧2=𝑧1⋅𝑧2B.|𝑧1𝑧2|=|𝑧1||𝑧2|C.若|𝑧1|=|𝑧2|，则𝑧21=𝑧22D.若𝑧1𝑧2∈𝑅，则𝑧1+𝑧2∈𝑅11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若▵𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，重心为𝐺，垂心为𝐻,𝑀为边𝐵𝐶的中点，且𝐴𝐵=5,𝐴𝐶=3，则下列结论正确的有()A.𝐴𝐺⋅𝐵𝐶=−163B.𝐴𝑂⋅𝐵𝐶=8C.𝑂𝐻=𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶D.𝐴𝐵+𝐴𝐶=4𝑂𝑀+2𝐻𝑀三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知𝑖为虚数单位，若复数𝑧=(1+𝑖)(𝑎−2𝑖)(𝑎∈𝑅)为纯虚数，则𝑎的值为．13.如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝐷满足𝐵𝐶=3𝐵𝐷，过点𝐷的直线分别交直线𝐴𝐵,𝐴𝐶于不同的两点𝐸,𝐹，设𝐴𝐵=𝑥𝐴𝐸,𝐴𝐶=𝑦𝐴𝐹，则2𝑥+𝑦的值为．14.在圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶=4,𝐴𝐵=2𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐷=60∘，则▵𝐵𝐶𝐷面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷,𝐸分别是边𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点，已知𝐵𝐸=3,𝐶𝐷=6,𝐵𝐶=27．(1)求三角形𝐴𝐵𝐶的面积；第3页，共7页(2)求三角形𝐴𝐵𝐶的周长．16.(本小题12分)已知复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，其中𝑖为虚数单位．(1)若|𝑧|2−4𝑧=−3+4𝑖，求𝑧；(2)若𝑧=1+2𝑖+3𝑖2+4𝑖3+5𝑖4+⋯+2024𝑖2023+2025𝑖2024，求𝑎−𝑏的值．17.(本小题12分)已知𝑎,𝑏是平面内两个不共线的向量．(1)若𝐴𝐵=𝑎+2𝑏,𝐵𝐶=𝑎+8𝑏,𝐶𝐷=2𝑎−2𝑏，求证：𝐴,𝐵,𝐷三点共线；(2)试确定实数𝑘，使𝑘𝑎+𝑏和𝑎+(2−𝑘)𝑏共线；(3)若𝑎=(2,1),𝑏=(−3,2),𝑎+𝑏⊥𝑚𝑎−𝑏，求实数𝑚的值．18.(本小题12分)已知三角形𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别是𝑎,𝑏,𝑐，且满足𝑎cos𝐶+3𝑎sin𝐶=𝑏+𝑐．(1)求角𝐴的大小；(2)若三角形𝐴𝐵𝐶的面积为10，内切圆的半径为1，求𝑎；(3)若∠𝐵𝐴𝐶的角平分线交𝐵𝐶于𝐷，且𝐴𝐷=4，求三角形𝐴𝐵𝐶面积的最小值．19.(本小题12分)𝑛个有次序的实数𝑎1,𝑎2,⋅⋅⋅,𝑎𝑛所组成的...