洛阳市2024———2025学年高一质量检测数学试卷参考答案一、选择题1-4.CDBD5-8.ABCD二、选择题9.ABC10.AC11.BCD三、填空题12.113.1214.412π四、解答题15.(12分)(1)由已知得,z=m2-3m+2+(m2-4m+3)i,……1′∵z为纯虚数,∴m2-3m+2=0,……2′m2-4m+3≠0,……3′{∴m=2.……4′(2)设A(0,t)(t<0),则OA→=(0,t),……5′又OZ→=(m2-3m+2,m2-4m+3),……6′由OA→,OZ→夹角为锐角得:OA→·OZ→>0,且OA→与OZ→不共线,……8′∴t(m2-4m+3)>0,……9′m2-3m+2≠0.……10′{解得1<m<3且m≠2,故m的取值范围为(1,2)∪(2,3).……12′16.(13分)(1)由于cos4x-23sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=2cos(2x+π3),高一数学答案第1页(共5页)(2025.7)微信公众号“做事方法很重要”微信公众号“做事方法很重要”∴f(x)=2cos(2x+π3),……4′由(2k-1)π≤2x+π3≤2kπ得:-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ,……6′故f(x)的单调递增区间为[-2π3+kπ,-π6+kπ](k∈Z),……7′(2)x∈[0,π2]时,2x+π3∈[π3,4π3],……8′当2x+π3∈[π3,π],即x∈[0,π3]时,f(x)单调递减,……10′当2x+π3∈[π,4π3],即x∈[π3,π2]时,f(x)单调递增,……12′故当x=π3时,f(x)有最小值,且f(x)min=f(π3)=-2,……13′17.(13分)(1)用x1,x2分别表示第1,2次取到的球,则可用(x1,x2)表示2次取球的可能结果,则样本空间Ω={(R1,R2),(R1,G),(R2,G),(R2,R1),(G,R1),(G,R2)}.……4′(2)①样本点总数为(3+n)(2+n),两个球都是红球的样本点个数为3×2=6,故6(3+n)(2+n)=17,解得n=4.……8′②设A=“第一次取到红球”,B=“第二次取到红球”,则“取到的2个球颜色不同”=AB-∪A-B,且AB-与A-B互斥,所以P(AB-∪A-B)=P(AB-)+P(A-B)=1242+1242=47.……13′18.(13分)∵2bcosBcosC+ccos2B+C=a,由正弦定理得:2sinBcosBcosC+sinCcos2B+sinC=sinA,……2′∴2sinBcosBcosC+2cos2BsinC=sinA,……3′∴2cosB(sinBcosC+cosBsinC)=sinA,∴2cosBsin(B+C)=sinA,……5′高一数学答案第2页(共5页)(2025.7)微信公众号“做事方法很重要”微信公众号“做事方法很重要”本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”即2cosBsinA=sinA,又sinA>0,∴cosB=12,∵B∈(0,π),∴B=π3.……7′(2)设BD=m,则由S△ABD+S△CBD=S△ABC知12cmsinπ6+12amsinπ6=12acsinπ3,……10′∴m=3aca+c≤3×(a+c2)2a+c=34(a+c)=34×4=3,……12′当且仅当a=c=2时,取“=”,故BD长度的最大值为3,……13′19.(13分)方程f(x)=1x,即ex=1x,当x<0时,方程ex=1x无实数解.……1′当x>0时,令φ(x)=ex-1x,则φ(x)在(0,+∞)上单调递增,……2′又φ(12)=e-2<0,φ(1)=e-1>0.故φ(x)在(12,1)内有唯一零点x0,即x0∈(12,1).……4′∴ex0+2x0-3=1x0+2x0-3=(x0-1)(2x0-1)x0<0∴ex0+2x0<3.……5′(2)g(x)=lnx,……6′∴h(x)=ln(ex+e-x),……7′高一数学答案第3页(共5页)(2025.7)微信公众号“做事方法很重要”微信公众号“做事方法很重要”本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”∵h(x)=g(mex+12e-x+2m).即ln(ex+e-x)=ln(mex+12e-x+2m),∴ex+e-x=mex+12e-x+2m,……8′∴(m-1)e2x+2mex-12=0.令ex=t(t>0),即(m-1)t2+2mt-12=0在(0,+∞)有两个不等实根,……9′∴m-1≠0,(2m)2-4(m-1)×(-12)>0,t1+t2=2m1-m>0,t1·t2=-12(m-1)>0.ìîíïïïïïïïïïï∴12<m<1,即m的取值范围为(12,1).……13′20.(13分)(1)∵CD∥AB,CD⊄平面PAB,∴CD∥平面PAB,……1′又平面CDE∩平面PAB=EF,∴CD∥EF.从而EF∥AB.……2′而E为PB的中点,∴F为PA的中点,∴在PF→=λPA→中,λ=12.……3′(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,∴CD⊥AD,……4′高一数学答案第4页(共5页)(2025.7)微信公众号“做事方法很重要”微信公众号“做事方法很重要”本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥DF.……5′在直角梯形CDFE中,CD=6,EF=32,DF=362,故S=12×(32+6)×362=4568.……7′(3)在CD上取靠近点C的四等分点G,连FG,由EF􀱀CG知四边形CEFG为平行四边形,∴FG∥CE,∴FG与平面PAD所成的角等于CE与平面PAD所成的角,FG与平面ABCD所成的角等于CE与平面ABCD所成的角.……9′∵GD⊥平面PAD,∴∠GFD即为FG与平面PAD所成的角,在Rt△GDF中,GD=92,DF=362,∴FG=3152,∴sinα=sin∠GFD=923152=155,……11′作FM⊥AD于M,则FM⊥平面ABCD,连接GM,则∠FGM即为FG与平面ABCD所成的角.在Rt△FGM中,FM=3154,∴sinβ=sin∠FGM=FMFG=12.……12′∴sin2α+sin2β=(155)2+(12)2=1720.……13′高一数学答案第5页(共5页)(2025.7)微信公众号“做事方法很重要”微信公众号“做事方法很重要”本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”