专题11：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之过端点向中线作垂线一、解答题1．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.2．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.3．如图，是的中线，于.于，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求证：；（2）若，，求的长．4．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com参考答案1．详见解析【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，则有∠DFB=CGB=CGA=90°∠∠，又∵∠DBF=CBG∠，BD=BC，∴，DF=CG∴，.又，∴≌，.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.2．详见解析【解析】【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.【详解】如图，过点D作的延长线于点G，，，，又∵∠ACB=BGD=90°∠，BA=BD，∴，，又∵BC=BE，，又∵∠EBF=DGF=90°∠，∠EFB=DFG∠，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comEF=DF.∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.3．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】先证明DE=DF；(1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论；(2)，，可得，继而可得答案.【详解】BEAD⊥∵，CFAD⊥，BED=CFD=90°∴∠∠，AD∵为△ABC的中线，BD=CD∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又∠BDE＝CDFBEDCFD(AAS)∴△△≌，DE=DF∴；(1)在中，，即，①在中，，即，②+①②得，，即；(2)，①，，②+①②得，，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.4．证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，则.，，，.，，，，又，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com