小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展01柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式2.二维形式的柯西不等式的变式3.扩展：，当且仅当时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.证明1：要证只需证即证故只要证一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当且仅当时，等号成立即，当且仅当时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．推广1：当时，等号成立．推广:2：若，则，当时，等号成立.推广3：若，则，当时，等号成立.【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________.解：，则所以，当且仅当时等号成立.答案：【典例2】设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是二、题型精讲精练小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.所以成立，所以有或.【典例3】已知，且，则的最小值为（）A．1B．C．9D．【详解】因为，所以由权方和不等式可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当且仅当，即时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14B．12C．10D．8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得，所以的最大值为，当且仅当时取等号.故选：A2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（）A．B．C．2D．4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为，所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，当且仅当时等号成立，即时等号成立.所以，所以的最小值为.故选：B二、填空题3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为.【答案】【分析】令，代入公式即可得解.【详解】令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】 ∴,当且仅当时等号成立，即， 小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，当且仅当时等号成立，可取故答案为：95．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.【答案】/【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得，当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为.故答案为：6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为．【答案】【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，即，由柯西不等式得：，当且仅当，即时，等号成立...