小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量的角的范是两个夹围.(×)(2)若a，b共，线则a·b＝|a|·|b|.(×)(3)向量的量是一，向量的加、、乘算的果是向量．两个数积个实数减数运结(√)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(×)教材改编题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于()A．1B.C．3D．3答案C解析由意可得题a·b＝|a|·|b|cos30°＝2××＝3.2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案23．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．答案5解析因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，所以cos〈a，b〉＝＝＝.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cosθ＝，则AP·PB等于()A．8B．－8C．2D．－2答案D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析如所示，图 AB＝DC，∴四形边ABCD平行四形，为边 CP＝3PD，∴AP＝AD＋DP＝AD＋AB，PB＝AB－AP＝AB－AD，又 |AB|＝4，|AD|＝3，cosθ＝，则AB·AD＝4×3×＝8，∴AP·PB＝·＝AB·AD－AD2＋AB2＝×8－9＋×42＝－2.(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，则MC·MB＝________.答案22解析如，以图BC所在直线为x，轴BC的垂直平分线为y，建立平面直角坐系，轴标 AB＝6，BC＝3BD，AM＝2AD，∴B(－3,0)，C(3,0)，M(－2，－3)，∴MB＝(－1,3)，MC＝(5,3)，∴MC·MB＝－5＋27＝22.思维升华算平面向量量的主要方法计数积(1)利用定：义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐算，若标运a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求量．数积(4)活用平面向量量的几何意．灵运数积义跟踪训练1(1)(2022·岳模阳拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则AP·AC的值为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．－2B．2C．1D．4答案B解析设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如所示，图由AP在AC方向上的投影向量为AO，得AP·AC＝AO...