小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点10奔驰定理与四心问题【五大题型】【新高考专用】平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.【知识点1奔驰定理】1．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com面积之比为.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.【知识点2四心问题】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.③重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.(3)内心的概念及向量表示①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心.2．三角形的四心与奔驰定理的关系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的内心：.(4)O是△ABC的外心：.【题型1奔驰定理】【例1】（2024·全国·模拟预测）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1⋅⃗OA+S2⋅⃗OB+S3⋅⃗OC=⃗0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=⃗0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=¿（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4D．2:3:6【解题思路】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S1:S2:S3即可求解作答.【解答过程】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC，∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC，因此，S1S2=BPAP=OPtan∠BOPOPtan∠AOP=tan∠BACtan∠ABC，同理S1S3=tan∠BACtan∠ACB，于是得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S1:S2:S3，又⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=⃗0，即⃗OC=−13⃗OA−23⃗OB，由“奔驰定理”有S1⋅⃗OA+S2⋅⃗OB+S3⋅⃗OC=⃗0，则⃗OC=−S1S3⋅⃗OA−S2S3⋅⃗OB，而⃗OA与⃗OB不共线，有S1S3=13，S2S3=23，即S1:S2:S3=1:2:3，所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.故选：A.【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅⃗OA+S2⋅⃗OB+S3⋅⃗OC=⃗0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+4⃗OC=⃗0，则cosB=¿()A．❑√23B．13C．23D．❑√33【解题思路】由O是垂心，可得tanA⋅⃗OA+tanB⋅⃗OB+tanC⋅⃗OC=⃗0，结合⃗OA+2⃗OB+4⃗OC=⃗0可得tanA:tanB:tanC=1:2:4，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.【解答过程】 O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，∴S...