小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点15新情景、新定义下的数列问题【七大题型】【新高考专用】数列是高考的重点、热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大，复习时需要灵活求解.【知识点1数列中的新概念问题】1．数列中的新概念问题的解题策略：通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.【知识点2数列的新定义、新情景问题】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．数列的新定义、新情景问题的求解策略(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.【题型1数列中的新概念】【例1】（2024·四川南充·三模）对于数列{an)，规定Δan为数列{an)的一阶差分，其中Δan=an+1−an(n∈N*)，规定Δkan为数列{an)的阶k差分，其中Δkan=Δk−1an+1−Δk−1an(n∈N*).若an=n(n−1)(2n−1)6，则Δ2a3=¿（）A．7B．9C．11D．13【解题思路】根据新定义及数列的通项公式计算即可.【解答过程】由新定义知，Δa4=a5−a4=5×4×96−4×3×76=16，Δa3=a4−a3=4×3×76−3×2×56=9，所以Δ2a3=Δa4−Δa3=16−9=7，故选：A.【变式1-1】（2024·北京延庆·一模）数列{an}中，an=logn+1(n+2)(n∈N∗)，定义：使a1⋅a2⋅⋯⋅ak为整数的数k(k∈N∗)叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于（）A．2023B．2024C．2025D．2026【解题思路】利用换底公式与累乘法把a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak化为log2(k+2)，然后根据a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak为整数，可得k=2n−2，最后由等比数列前n项和公式求解．【解答过程】解： an=logn+1(n+2)=lg(n+2)lg(n+1)，(n∈N∗)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak=lg3lg2⋅lg4lg3⋅lg5lg4⋅⋯⋅lg(k+2)lg(k+1)=log2(k+2)，又 a1⋅a2⋅a3⋅…⋅ak为整数，∴k+2必须是2的n次幂(n∈N∗)，即k=2n−2．k∈[1,2023]内所有的“幸运数”的和：S=(22−2)+(23−2)+(24−2)+…+(210−2)¿2(1−210)1−2−20=2026，故选：D．【变式1-2】（2024·湖北武汉·三模）将1,2,⋅⋅⋅,n按照某种顺序排成一列得到数列{an)，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称数对(ai,aj)构成数列{an)的一个逆序对.若n=4，则恰有2个逆序对的数列{an)的个数为（）A．4B．5C．6D．7【解题思路】根据逆序对的定义，分数列{an)的第一个数为4，数列{an)的第二个数为4，数列{an)的第三个数为4，数列{an)的第四个数为4，四种情况讨论即可.【解答过程】若n=4，则1≤i<j≤4，由1,2,3,4构成的逆序对有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)，若数列{an)的第一个数为4，则至少有3个逆序对，若数列{an)的第二个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an)为{1,4,2,3)，若数列{an)的第三个数为4，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则恰有2个逆序对的数列{an)为{1,3,4,2)或{2,1,4,3)，若数列{an)的第四个数为4，则恰有2个逆序对的数列{an)为{2,3,1,4)，{3,1,2,4)综上恰有2个逆序对的数列{an)的个数为5个.故选：B.【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n=k1k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)=|k1−k2)，则数列{f(2n))的前2024项的和为（）A．21011−1B...