小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第63讲直线与圆的综合必考题型全归纳题型一：距离的创新定义例1．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为，此时.【答案】【解析】设为坐标原点，由，知，且为锐角三角形，因此，费马点F在线段上，设，则为顶角是120°的等腰三角形，故，所以；在中，由正弦定理，得，即，解得，即此时.故答案为：；例2．（2024·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，设，因为点A、B分别在函数和的图象上，所以，当且仅当时等号成立.设，，则，令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，即，所以的最小值为.故选：A.例3．（2024·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．【答案】B【解析】设，，，则，即为点到和点三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°，因为|OA|＝|OB|＝2，则，所以点坐标为时，距离之和最小，最小距离之和为.故选：B.变式1．（2024·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①若，则；②若，其中，则；③若，其中，则；④若，其中，则的最小值为.其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①：，故①正确.对于②：，故②错误.对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.故选C.变式2．（2024·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，因为，，，所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，取的中点，连接，与交于点，连接，故，，因为，所以，故，则，故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，因为，所以，同理得：，，，故的最小值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：B变式3．（2024·全国·高三专题练习）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于.【答案】【解析】先证明：若到三个顶点距离之和最小，则如图将绕点B逆时针旋转60°得到，则≌，，所以是等边三角形，，，当四点共线时取得最小值，此时，同理可得所以命题得证.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT...