【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为．其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）由（1）知函数． 函数图象与轴交于两个不同的点，（），∴，．两式相减得．学*科网．下解．即．令， ，∴，即．令，．又，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴在上是増函数，则，从而知，故，即不成立．故不是的根．学*科网例2．设函数（1）当时，求函数的单调区间；[来源:Zxxk.Com]（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围．（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间，的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[来源:Z.xx.k.Com]【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间．例3．已知函数（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，学*科网令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．学*科网故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【新题展示】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnxk，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解析】所以当时，，即的值域为．所以使方程有实数解的的取值范围．2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com围．【思路引导】（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.所以.（其中）所以...