小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（）．A．B．C．D．例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（）A．B．C．D．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例4．（2024·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______．例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若，，且，则的最小值是____________．例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________.题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为__________.例9．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为______例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2B．C．D．6例12．（2024·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.例13．（2024·全国·高三专题练习）已知，，满足，则的最小值是______．题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这...