小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题04基本不等式目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2.基本不等式的证明（1）.代数证法小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）.几何证法如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD~DCB,△因而CD=√ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.例已知a,b,c都是正数，证明：证明：二、几个重要不等式1．几个重要的不等式小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三、最值定理(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件一正、二定、三相等．“”理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.一、利用基本不等式求最值方法方法1配凑法例1(1)(2022·长沙模拟)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A.B．4C.D．9答案C解析y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，当∴x＝时，ymax＝.(2)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有()A．最大值0B．最小值9C．最大值－3D．最小值－3答案C解析 x<，∴3x－2<0，f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3.当且仅当2－3x＝，即x＝－时取＝．“”(3)(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．答案9解析因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.方法2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是()A．1B．2C.D.答案C解析因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以＝1，所以＋＝(a＋b)＝≥×＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．方法3消元法例3(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．答案6解析方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解方法一9－xy＝x＋3y≥2，9∴－xy≥2，令＝t，∴t>0，9∴－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0<t≤，≤，∴∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方法二 x＝，∴x·y＝·y＝＝＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3.当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号．∴xy的最大值为3.思维升华(1)前提：一正二定三相等．“”“”“”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．方法4换元法当所求最值的代数式中的变量关系复杂，变形方向难寻我时，可通过换元的方式发现新元的特点，进而利用基本不等式求得最值．例4答案方法5多次应用基本不等式化简求最值连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取...