小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题20空间向量与立体几何初步目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、空间向量及其线性运算1.空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共线向量(或平行向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC.(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.二、空间向量的数量积与坐标表示1.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2.空间向量数量积的运算律(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共线b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.温馨提示：1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.三、法向量的求解与空间向量的应用（1）求平面的法向量：第一步：写出平面内两个不平行的向；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第二步：那么平面法向量，满足．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．若∥，即，则；若，即，则．②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．若∥，即，则；若，即，则．（3）平面与平面的位置关系平面的法向量为，平面的法向量为．若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．空间位置关系的向量表示小结：位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0四、空间角公式（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则．（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．五...