小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如μ=y−bx−a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如m=(x−a)2+(y−b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，故选：C例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（）A．的最大值为，最小值为B．的最大值为，最小值为；C．的最大值为，最小值为；D．的最大值为，最小值为；【答案】BC【解析】（1）设，整理得，则表示点与点连线的斜率．当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，所以的最大值为，最小值为；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）设，整理得，则表示直线在轴上的截距．当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得，的最大值为，最小值为．故选：BC.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆：上任意一点，则的最大值为.【答案】【解析】由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故的最大值为.故答案为：.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，即，与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com可设，则C到其距离为，解得，故最大值为，最小值为（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点是圆上的动点，则的最大值是.【答案】【解析】由，则，当且仅当时等号成立，∴的最大值是.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：.例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（）A．B．C．6D．5【答案】A【解析】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】因为圆：经过点，．又，所以，可看成是直线在轴上的截距.如图所示，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：C．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则...