小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第65讲双曲线及其性质知识梳理知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形焦点坐标，，A2小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为必考题型全归纳题型一：双曲线的定义与标准方程例1．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为.例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线：（，），矩小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则双曲线的标准方程是．例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为．变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是．变式4．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，与的夹角为，，则双曲线C的标准方程为.变式5．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www....