小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．xyPBFAO1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．6、点的坐标为；7、底边所在的直线方程为8、的面积为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【解析】（1）设，则，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆恒过定点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com圆心到直线的距离为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．【解析】（1）设，则，因为，即，当，即时，则，整理得；当，即时，则，整理得，不成立；综上所述：点的轨迹的方程.（2）由（1）可知：曲线：，即，则，设，可知切线的斜率为，所以切线：，则，整理得，同理由切线可得：，可知：为方程的两根，则，可得直线的斜率，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设的中点为，则，即，所以直线：，整理得，所以直线恒过定点.例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线满足：它上面任意一定到的距离比到直线的距离小1.(1)求曲线的方程；(2)为直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，证明：直线过定点；(3)在（2）的条件下，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.【解析】（1）思路一：由题意知，曲线是一个以为焦点，以的抛物线，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故的方程为：.思路二：设曲线上的点为，则，由题意易知，，整理得，.（2）设，则.又因为，所以.则切线的斜率为，故，整理得.设，同理得.都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为，即，当时等式恒成立.所以直线恒过定点.（3）思路一：利用公共边结合韦达定理求面积设的中点为，则，.由，得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将代入上式并整理得，因为，所以或.由（1）知，所以轴，则（设）.当时，，即；当时，，即.综上，四边形的面积为3或.思路二：利用弦长公式结合面积公式求面积设，由（1）知抛物线的焦点的坐标为，准线方程为.由抛物线的定义，得.线段的中点为.当时，轴，，；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当时，，由，得，即.所以，直线的方程为.根据对称性考虑点和直线的方程即可.到直线的距离为，到直线的距离为.所以.综上，四边形的面积为3或.思路三：结...