小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题17三角函数与解三角形第四缉1．【2016年新疆预赛】函数f(x)=cos2x+2|sinx|的最大值为______.【答案】32【解析】依题意知f(x)=1−2sin2x+2|sinx|¿−2(|sinx|−12)2+32.又|sinx|∈[0,1]，故当|sinx|=12时，f(x)取得最大值32.2．【2016年新疆预赛】设△ABC的∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足acosB−bcosA=45c.则tanAtanB=¿______.【答案】9【解析】由余弦定理得a⋅a2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=45c⇒a2−b2=45c2.从而，由正弦定理得tanAtanB=sinA⋅cosBsinB⋅cosA=a⋅a2+c2−b22acb⋅b2+c2−a22bc=a2+c2−b2b2+c2−a2=9.3．【2016年四川预赛】若实数α、β、γ构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosa=_____.【答案】−12小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】设β=2a，γ=4a.由sinβsinα=sinγsinB⇒sin2αsinα=sin4αsin2α⇒2sinα⋅cosαsinα=2sin2α⋅cos2αsin2α⇒2cos2α−cosα−1=0⇒cosα=−12或1.若cosα=1，则sinα=0（舍去）.从而，cosα=−12.4．【2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记∠APC=α,∠BPD=β则tan2a+tan2β=¿______.【答案】8【解析】如图,建立直角坐标系.设圆方程为x2+y2=r2则正方形顶点坐标分别为A(−r,−r),B(r,−r),c(r,r),d(−r,r)若P(rcosθ,rsinθ),则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为kPA=1+sinθ1+cosθ,kPB=−1+sinθ1−cosθ,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comkPC=−1−sinθ1−cosθ,kPD=−1−sinθ1+cosθ.故tan2α=(kPC−kPA1+kPAkPC)2=4(cosθ−sinθ)2tan2β=(kPD−kPB1+kPBkPD)2=4(cosθ+sinθ)2因此tan2α+tan2β=8.5．【2016年江西预赛】设x为锐角.则函数y=sinx⋅sin2x的最大值为______.【答案】4❑√39【解析】由y=sin2x⋅cosx⇒y2=4sin4x⋅cos2x≤2(2sin2x+2cos2x3)3=1627⇒y=4❑√39当cos2x=13时,以上各式等号成立.6．【2016年湖南预赛】方程16sinπx⋅cosπx=16x+1x的解集为______.【答案】{14,−14}.【解析】当x>0时，16x+18≥8，当且仅当x=14时，上式等号成立.又16sinπx⋅cosπx=8sin2πx≤8，①当且仅当x=14+k(k∈Z)时，式①等号成立.于是，当x>0时，方程只有解x=14.由奇函数的性质，知x=−14为另一解.故方程的解集为{14,−14}.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com7．【2016年甘肃预赛】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为．【答案】❑√π2【解析】由f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增,且f(x)的图像关于直线x=ω对称,可得2ω≤πω,且f(ω)=sinω2+cosω2=❑√2⇒sin(ω2+π4)=1,所以ω2+π4=π2⇒ω=❑√π2.考点:本题主要考查三角函数的性质.视频8．【2016高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=(sinkx10)4+(coskx10)4，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有{f(x)∨a<x<a+1}={f(x)∨x∈R}，则k的最小值为.【答案】16【解析】由条件知，f(x)=(sin2kx10+cos2kx10)2−2sin2kx10cos2kx10¿1−12sin2kx5=14cos2kx5+34，其中当且仅当x=5mπk(m∈Z)时，f(x)取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区间(a，a+1)至少包含一个最大值点，从而5πk<1，即k>5π.反之，当k>5π时，任意一个开区间(a，a+1)均包含f(x)的一个完整周期，此时{f(x)∨a<x<a+1}={f(x)∨x∈R}成立.综上可知，正整数k的最小值为[5π]+1=16.9．【2015年全国】若，则__________．【答案】2【解析】由有，而，求出小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识...