小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..............................................1二、典型题型..............................................2题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题.................2题型二：证明唯一零点问题...............................7题型三：根据零点（根）的个数求参数....................11三、专项训练.............................................18一、必备秘籍1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f(x)有零点．2、函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、典型题型题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题1．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）．(1)证明：当时，；(2)讨论函数在上的零点个数．【答案】(1)证明见解析(2)当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点．【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明；（2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解．【详解】（1）证明，令，则，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递减：在上单调递增，从而在上，，所以在上单调递增，因此在上，，即；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2），，，在上，，所以，在上递增，，即函数在上无零点；，记，则，在上递增，而，故存在，使，当时，递减，时，递增，，而，，在上无零点，在,上有唯一零点，综上，当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，．(1)求的值;(2)求在上的零点个数．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）求导，利用可解；（2）设，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.【详解】（1）由则又，所以即；（2）由（1）可知小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设则，则当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，又，，所以在上无零点，在上有一个零点；从而在上有1个零点.【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩．3．（23-24高二下·山东...