小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题09利用导函数研究函数的隐零点问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数f(x)，导函数方程f'(x)=0的根存在，却无法求出，设方程f'(x)=0的根为x0，则有：①关系式f'(x0)=0成立；②注意确定x0的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f'(x,a)=0的根存在，却无法求出，设方程f'(x)=0的根为x0，则有①有关系式f'(x0)=0成立，该关系式给出了x0,a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.二、典型题型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数．(1)讨论在区间上单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由，在时，，若，即在区间上单调递增；若，即在区间上单调递减；若，令，令，可知在上单调递增，在上单调递减；综上所述：时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）根据题意可知恒成立，设，则，令，则定义域上单调递增，易知，即，使得，即时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，则，所以，即2．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)讨论函数的零点个数；(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解即得.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，而，由得，由得，因此函数在上递减，在递增，又当时，恒成立，，因此函数在存在唯一零点，所以函数的零点个数是1.（2）由（1）知函数存在唯一零点，且，①当时，，由得：，即，设，求导得，在上单减，则，解得；②当时，由得：，即，设，求导得，而，则，在上单增，则，解得，综上得的取值范围是.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，．(1)求函数的导数；(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）求出函数，再结合复合函数求导法则求导即得.（2）求出函数在上的最小值，在上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解.（3）求出函数，由分离参数，构造函数，利用导数探讨值域即可得解.【详解】（1）函数，则，由，求导得，所以函数的导数是.（2）函数，求导得，，，则，，函数在上单调递增，于是．又，则在上也是单调递增，，由对任意的，，使成立，等价于，因此，解得，所以实数a的范围是．（3）依题意，，由，得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，，求导得，令，，求导得，即函数在上单调递增，显然，，则存在唯一的，使得，即，即，，则当...