小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．二、典型题型1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）借助导数可得，在上恒成立，结合二次函数的性质计算即可得；（2）由题意计算可得，从而可设，得到，结合导数研究该函数单调性即可得其最小值，即可得解.【详解】（1）因为，由题意，即对恒成立，整理得：，即，在上恒成立，显然时成立．当时，设，显然且对称轴为，所以在上单调递增，所以只要，又，所以；综上，；（2），即为方程的两个根，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由题意可得，∴，解得，又，，两式相减得，令，则，令，，所以在递减，，所以的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于结合题意，得到的范围，并借助换元法，令，从而将多变量问题转化为单变量问题.2．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；（2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可.【详解】（1）当时，，，令，，令，可得，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）有三个零点，即有三个根，由不是该方程的根，故有三个根，且，令，，故当...