1分母有理化和二次根式的综合运算是八年级数学上学期第一章第二节内容．分母有理化是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据．一方面，它是在学习了平方根基础之上对实数的进一步深入；另一方面，又为学习二次根式的混合运算、一元二次方程、二次函数等知识奠定基础．二次根式的综合运算是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力．1.分母有理化：（1）把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．（2）分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．二次根式的综合运算知识结构模块一：分母有理化例题解析知识精讲内容分析2【例1】填空．（1）的一个有理化因式是；（2）的一个有理化因式是．【难度】★【答案】（1）等；（2）等．【解析】（1）的一个有理化因式是等；（2）的一个有理化因式是等．【总结】本题主要考查有理化因式的概念，注意有理化因式不是唯一的．【例2】把下列各式分母有理化．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（1），（2），（3），（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．【例3】把下列各式分母有理化．（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（1），（2），（3）．3【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．【例4】化简．（1）；（2）．【难度】★【答案】（1），（2）．【解析】（1）原式；（2）原式．【总结】本题主要考查利用分母有理化化简二次根式并求值．【例5】把下列各式分母有理化．（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；4（2）．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．【例6】把下列各式分母有理化．（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．【例7】把下列各式分母有理化．（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；5（2）原式．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．【例8】化简：（1）；（2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．【总结】本题既可以采用分母有理化进行化简，也可以通过因式分解进行约分，注意简便方法的选择和运用．【例9】解下列方程．（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得：，即，所以原方程的解为：；（2）由，得，所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．6【例10】解下列方程组．（1）；（2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得：，所以可得：，从而进一步得到：，所以原方程组的解为；（2）由，得，所以可得：，从而进一步得到：，所以原方程组的解为．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用，与整式方程组的解法类似．【例11】解下列不等式．（1）；（2）．【难度】★★★【答案】（1）；(2)．【解析】（1）由，得：，所以原不等式的解集为：；（2）由，得：，所以原不等式的解集为：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，解题时注意计算上的吸细心另外注意求不等式的解时，两边所除的数的正负性．7【例12】已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【解析】因为，所以，所以，所以，所以．【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简，另一方面考查了复合二次根式的的化简，本质是配方，讲解时根据学生情况选择性的运用．1、二次根式的混合运算（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．【例13】化简：（1）；（2）；例...