第六章实数6.1平方根（基础巩固）【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.2.平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a≥0)的平方根的符号表达为(0)aa，其中a是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000aaaaaaa20aaa知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念例1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.24的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±24＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9没有平方根．（）（2）164．（）（3）21()10的平方根是110．（）（4）25是425的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）164；（4）25是425的算术平方根．例2、填空：（1）4是的负平方根．（2）116表示的算术平方根，116．（3）181的算术平方根为．（4）若3x，则x，若23x，则x．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13(4)9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④8是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325（2）8136（3）0.040.25（4）40.36121【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655例3、使代数式1x有意义的x的取值范围是______________．【答案】x≥1；【解析】x＋1≥0，解得x≥1.【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.举一反三：【变式】若+（3x+y1﹣）2=0，求5x+y2的平方根．【答案】解： +（3x+y1﹣）2=0，∴，解得，，5x+y∴2=5×1+（﹣2）2=9，5x+y∴2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程例4、求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x2﹣）236=0﹣．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x2﹣）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得2144169x开平方，得x=（2）（x2﹣）236=0﹣，移项，得（x2﹣）2=36开平方，得x2﹣=±6，解得：x=8或x=4﹣．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用例5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝132321xx＝－21(舍去)答：长为63米，...