第六章实数6.1平方根（能力提升）【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.2.平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a≥0)的平方根的符号表达为(0)aa，其中a是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000aaaaaaa20aaa知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念例1、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【答案与解析】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又 2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．举一反三：【变式】已知2a－1与－a＋2是m的两个不同的平方根，求m的值.【答案】2a－1与－a＋2是m的平方根，所以2a－1与－a＋2互为相反数.解：当2a－1＋（－a＋2）＝0时，a＝－1，所以m＝22221[2(1)1]39a例2、x为何值时，下列各式有意义？(1)2x；(2)4x；(3)11xx；(4)13xx．【答案与解析】解：(1)因为20x，所以当x取任何值时，2x都有意义．(2)由题意可知：40x，所以4x时，4x有意义．(3)由题意可知：1010xx解得：11x．所以11x时11xx有意义．(4)由题意可知：1030xx，解得1x且3x．所以当1x且3x时，13xx有意义．【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232baa，求11ab的算术平方根．【答案】解：根据题意，得320,230.aa则23a，所以b＝2，∴1131222ab，∴11ab的算术平方根为112ab．类型二、平方根的运算例3、求下列各式的值．(1)2222252434；(2)111200.36900435．【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)222225243449257535；(2)1118111200.369000.63043543590.261.72．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)aaa来解．类型三、利用平方根解方程例4、求下列各式中的x.（1）23610;x（2）21289x；（3）2932640x【答案与解析】解：（1） 23610x∴2361x∴36119x（2） 21289x∴1289x∴x＋1＝±17x＝16或x＝－18.（3） 2932640x∴264329x∴8323x∴21499xx或【总结升华】本题的实质是一元二次...